Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

1 wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и в) Сравните числа si0 cos0 и si 40 г) Сравните числа si 45 cos5 и si 75 д) Сравните числа si cos и si Возведение в степень а) Сравните числа + 5 и б) Сравните числа 6 5 и 8 7 в) Сравните числа д) Сравните числа е) Сравните числа 5 и г) Сравните числа 0 и ( ) и ( ) ( ) и ( ) Использование классических неравенств Неравенство Бернулли: ( + ) +, для, a + a + + a Неравенство Коши: aa a, для = имеем неравенство между средним a + a арифметическим и средним геометрическим aa Неравенство Коши-Буняковского: ( )( y + y + + y ) ( y + y + + y ) π π π а) Сравните числа: 00 и,006 б) Сравните числа si + cos + cos и 4 4 в) Сравните числа: si π cos π cos π si π и Разделение чисел 4 а) Сравните числа и 7 б) Сравните числа log и log 5 6 Вычитание а) Сравните числа si и si0 б) Сравните числа cos и cos 4 в) Сравните числа log0 и log г) Сравните числа log и log 7 Замена числа буквой а) Сравним и б) Сравним 0 0(000 нулей) 0 0 (00нуль) и (00 нуль) (00 нуля) в) Сравним и г) Сравним 60 и Использование свойств функций π Например, si на [0; + ) ; tg на 0; ; l на (0; + ) ; + на а) Сравните числа в) Сравните числа π и l и б) Сравните числа si cos и cossi π г) Сравните числа log и log Сравнение площадей а) Сравните числа l и 0,75 б) Сравните числа l и,5

2 wwwfmclassru Методы сравнения чисел Возведение в натуральную степень Известно, что если натуральное число нечётно, то a> b a > b, а если натуральное число чётно, то справедлива одна из двух возможностей: a> b a > b для положительных чисел a и b или a> b a < b для отрицательных чисел a и b Тогда для сравнения заданных чисел одного знака (если заданные числа имеют разные знаки вопрос их сравнения тривиален: положительное больше отрицательного) следует изучить их знаки и провести правильный равносильный переход а) Сравним два иррациональных числа: 6 6 и Первое из них положительно, а второе отрицательно Тем самым первое больше б) Сравним числа 6 5 и 8 7 Поскольку оба числа одного знака имеем право сравнивать их натуральные степени, а учитывая то, что оба они положительны не будем менять знак сравнения Последовательно получаем ( 6 5) ( 8 7) Уменьшим теперь каждое из сравниваемых чисел на, а затем уменьшим каждое из полученных чисел в два раза: Теперь увеличим каждое из полученных чисел на сумму и рассмотрим полученные числа: Оба они одного знака, причем положительны, и мы имеем право сравнивать их натуральные степени не меняя знака сравнения; возведем их в квадрат, уменьшим сумму на 4 и вновь уменьшим полученные числа в два раза: ( 56) ( + 0) Поскольку в результате преобразований вновь получены положительные числа, имеем право еще раз возвести их в квадрат Имеем 0 ( 0) Итак, выполнением ряда преобразований мы получили, что знак между исходными числами тот же, что и знак между числами и 0 Поэтому поскольку > 0, 6 5 > 8 7, то есть первое число больше Заметим, что исходные числа отличаются друг от друга незначительно, примерно на три сотых, и целью всех вышеприведённых преобразований было сделать это отличие «ощутимее»

3 wwwfmclassru в) Сравним теперь два тригонометрических числовых выражения: cos и cos 4 Предварительно заметим, что оба числа отрицательны, поэтому при возведении в квадрат изменим знак сравнения на противоположный: cos cos 4 cos cos 4 cos cos 4 cos cos 4 Разумеется, целью преобразований являлось использование формулы cos α = cos α Тогда cos cos 4 cos4 cos8 Оба полученных числа отрицательны Вновь меняем знак сравнения при возведении в квадрат, умножим результат на два, и, уменьшив полученные числа на, снова используем формулу косинуса двойного угла Получим: cos 4 cos8 cos 4 cos 8 cos8 cos6 Проведя те же преобразования в третий раз, получим cos8 cos6 cos 8 cos 6 cos6 cos Поскольку косинус 6 радиан отрицателен, а косинус радиан положителен, и тем самым cos6 < cos, и учитывая изменение знаков сравнения получаем, что cos > cos 4 Заметим, что оба исходных числа были чуть меньше нуля, и целью вышеописанных преобразований являлось изменять их так, чтобы получить в конце числа разных знаков Проще было сразу рассмотреть разность косинусов и сравнить ее с нулем Извлечение корня Помимо сравнения натуральных степеней чисел, есть возможность наоборот сравнивать корни некоторой степени из них Причем a > b a > b для чётных чисел, и a > b a> b для нечётных а) Сравним две степени: log0,5 log0,5 и log0,5 5 log0,5 5 Сравним логарифмы заданных чисел по основанию, поскольку основание больше, знак сравнения не изменяется Имеем log0,5 log0,5 log0,5 5 log0,5 5 0,5 0,5 0,5 0,5 > log log log 5 log 5 Увеличим теперь каждое из сравниваемых чисел на и воспользуемся формулой квадрата разности: log log + log 5 log 5+ (log ) (log 5 ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Извлекая квадратный корень и используя свойства модуля, получаем (log ) (log 5 ) log log 5 log log 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

4 wwwfmclassru Уменьшим полученные числа на и учтём, что log/ b= log b и что loga b= log b : log0,5 log0,5 5 log0,5 log0,5 5 log log4 5 log4 9 log4 5 Сравним степени числа 4 с полученными показателями, поскольку основание больше, знак сравнения не изменяется: log 9 log И, наконец, поскольку левое из полученных чисел больше правого в силу равносильности всех числовых преобразований мы имеем право сделать вывод, что > log0,5 log0,5 log0,5 5 log0,5 5 a 4 > a a б) Сравним числа и Ясно, что оба заданных числа положительны, но последовательное возведение их в степени явно не лучший способ их сравнения Однако нетрудно заметить, что = (+ 5), и что = ( + 5) Тогда , и поскольку первое из полученных чисел больше второго, первое из заданных больше второго Умножение числа на сопряженное Известна формула сокращенного умножения ( a+ b)( a b) = a b или для неотрицательных чисел а и b ( a + b)( a b) = a b Будем далее называть числа a+ b и a b сопряженными друг другу Домножение сравниваемых чисел на сопряженные к ним зачастую удобный способ уменьшить количество необходимых вычислений а) Сравним числа 6 5 и 8 7 Умножая и деля каждое из сравниваемых чисел на сопряженные к ним получаем ( 6 5)( 6 + 5) ( 8 7)( 8+ 7) ( 6 + 5) ( 8+ 7) Из двух положительных дробей больше та, знаменатель которой меньше Но каждое слагаемое знаменателя первой дроби больше соответствующего слагаемого знаменателя второй дроби, откуда ясно, что первое число больше Задача решена 4 Использование классических неравенств Приведем список используемых далее классических неравенств: Неравенство Бернулли: ( ) a + a + + a Неравенство Коши: + > +, для, N aa a 4

5 wwwfmclassru Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (случай = в неравенстве Коши): aa a + a, откуда a + a Неравенство Коши-Буняковского-Шварца: ( )( y + y + + y ) ( y + y + + y ) а) Сравним числа: 00 и,006 Возведем сравниваемые числа в двухсотую степень: 00,006 (,006) 00 Оценим теперь правое число, воспользовавшись неравенством Бернулли: ( ) ( ) 00 00,006 = + 0,006 > ,006 =, > Таким образом, первое число меньше второго, задача решена Другой способ состоит в том, чтобы оценить левое число из неравенства Коши для двухсот чисел: 99 единиц и одной двойки Оказывается, что левое число меньше 0/00, т е меньше,005 π π π б) Сравним числа si + cos + cos и 4 4 Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим два раза: π π π π π π π π π = + > = si cos cos si cos cos si cos 4 si Откуда ответ: сумма тригонометрических выражений больше двух в) Сравним числа: si π cos π cos π si π и + 6 Можно попробовать «просто» раскрыть скобки в левой части доказываемого равенства, например, используя формулы понижения порядка, или, скажем, используя формулу si αcos α= si α, а 4 можно воспользоваться неравенством Коши-Буняковского-Шварца Именно, оценим левую часть неравенства: si π cos π cos π si π si π cos π cos π si π si π si π и заметим, что Отсюда первое число больше π π + + si + si = =

6 wwwfmclassru 5 Метод разделения чисел Идея метода такова: если удается показать, что одно из сравниваемых чисел больше некоторого подобранного, а другое наоборот больше него, то в силу свойства транзитивности неравенств второе число больше первого а) Сравним два числа: log и log 5 Заметим, что оба числа больше единицы, но меньше двух Будем подбирать число, которое было бы больше одного из них, но меньше другого Возьмем, например, и сравним с ним каждое из заданных чисел Имеем: Таким образом log > log5 log >, так как > >, log 5 <, так как 5< 5 < б) Сравним 4 и 7 4 Вместо того чтобы сравнивать заданные числа друг с другом, сравним каждое из них с числом Ясно, что 7 > 6, в то же время 6 =, а > = > Таким образом < 7 6 Метод вычитания Удобной возможностью сравнивать числа является изучение знака их разности, либо их разности с одним и тем же числом а) Сравним тригонометрические числовые выражения si и si0 Рассмотрим разность заданных чисел В силу справедливости неравенств si si0 = si cos π 0; si > 0, 7π π; cos < 0 получаем, что тогда si si0 < 0, значит, si0 > si si cos 0 < 6

7 wwwfmclassru б) Сравним логарифмы: log0 и log Оба заданных числа близки к единице Вычитая ее из каждого из них, получим числа близкие к нулю, которые более удобны для сравнения: log0 = log0 log00 = log0 = log , log = log log = log = log + Замечая, что log0 + > log + > log + 0 0, получаем, что первое число больше 7 Замена числа на параметры Обозначение чисел параметрами с одной стороны расширяет класс решаемых задач, с другой помогает увидеть алгебраическую «специфику» задачи а) Сравнить 60 и + 7 Заметим, что 60 = 4 (8 + 7), и пусть a =, b = 7 Сравним выражения a 4( ) + b и a+ b: ( a b ) a b ( a b ) ( a b) ( a b ) ab( a b) a ab b ab ( a b) Так как a b, их разность отлична от нуля, а если ( a b) 0 >, тогда и 60 > + 7 б) Сравним числа и Тогда пусть A это будет первое число, а B второе, и пусть 00 =, то A= +, B= + Рассмотрим их частное: = Так как 000 =, а ( ) ( ) A = = > B ( ) Тогда A> B и, соответственно, >

8 wwwfmclassru в) Сравним числа (000 нулей) (00нуль) и (00 нуль) (00 нуля) Обозначим 0 0 =, и сравним (000 нулей) и : + 0+ > + + > + > > Тогда первое из заданных чисел больше ( )(00 ) (0 ) Использование свойств функций Монотонность и выпуклость функций на промежутках могут быть использованы как для сравнения чисел, так и для доказательства различных неравенств Так, для того, чтобы доказать неравенство f( ) 0 при 0, достаточно доказать, что f (0) 0 и f ( ) 0при 0 А для того, чтобы доказать неравенство f ( ) 0при 0, можно воспользоваться второй производной и так далее а) Доказать, что при 0 имеет место неравенство si π Доказательство: нетрудно, например, проверить, что на промежутке 0; функция синус выпукла вверх и ее график лежит не выше касательной к нему, проведенной через точку (0; 0) Также нетрудно проверить, что этой касательной и является прямая y = Тем самым требуемое неравенство доказано для всех значений переменной из рассматриваемого отрезка Для всех прочих положительных значений переменной оно выполнено в силу ограниченности функции синус Что и завершает доказательство Примечание: аналогично можно доказать справедливость следующих неравенств: π tg на промежутке 0; ; l на открытом луче (0; + ) ; + на всей вещественной оси б) Сравним числа: si cos и cossi Так как cos > 0, имеем si cos< cos А поскольку функция y = cos убывает при ( 0; π ) из неравенства si< следует, что cossi > cos Таким образом si cos< cossi 8

9 wwwfmclassru в) Доказать, что при 0 имеет место неравенство 6 неравенство si si 6 f 0 = 0, f при 0 Тогда Рассмотрим функцию f ( ) = si + Имеем: f ( 0) = 0, f ( ) = cos +, ( ) f ( ) = si + Но при 0 f ( ) 0, и тогда ( ) верно, значит, ( ) 0 f 0 si + 0 Что и требовалось доказать 6 г) Сравнить числа si и 5 6 Поскольку si ясно, что 6 5 si > 6 д) Сравним числа π и π π π l l π π l l π πl l π π l Рассмотрим функцию f( ) = и сравним f ( π ) и f() Эта функция определена при > 0 и имеет наибольшее значение при = (доказательство с использованием производной) Тогда f ( π ) < f ( ) или l π <, откуда π >π π ϕ = l ; ϕ = 0 Берем производную Можно было рассмотреть другую функцию: ( ) ( ) ϕ ( ) = 0 при Значит, ϕ( ) возрастает и ( ) 0 ϕπ> то есть π l π> 0, откуда π >π Существует ещё один способ решения этой задачи Возведём обе части выражения в степень π Имеем: Рассмотрим функцию l y = l l y = l Тогда и При y = на этом промежутке убывает, тогда π π π π y = Прологарифмируем её по основанию е, имеем y = l + = l y ( ) y y = ( l ) = ( l ) > найденная производная отрицательна, а функция π π π < (так как π> ) или π >π 9

10 wwwfmclassru е) Сравнить lg и lg00 00 Пусть f ( ) = lg ( + ), сравним f ( 000) и f ( 00) функции Ясно, что f ( ) имеет те же промежутки монотонности, что и f ( ) Найдем промежутки монотонности введенной + f( ) = lg( + ) = lg( + ) lg = lg = lg + При > основание логарифма возрастает, а выражение + убывает, тогда log f ( ) убывает на ( ; + ) Тогда f ( ) f ( ) > 00 lg 00 > lg 00 + убывает, и 0