Книга по математике для поступающих в ВУЗы. КУРС СРЕДНЕЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЫ. Автор- Зайцев Артём Сергеевич

+ Данная справочная книга содержит 5 вариантов тестовых заданий, которые позволят Вам легко проверить уровень полученных знаний и оценить результат.

т е о р е т и ч е с к и й м а т е р и а л

О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы И О П Р Е Д Е Л Е Н И Я

ТЕМА 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Натуральные числа (НЧ) – это те числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5, … n, … Множество натуральных чисел обозначается символом N . N = .

Сравнение натуральных чисел:

Из двух НЧ большим (меньшим) является то число, которое на числовом луче стоит дальше (ближе) от нуля:

Например : 1 < 3; 8 > 5.

2 (5) , если его последняя цифра делится на 2 (5);

3 (9) , если сумма его цифр делится на 3 (9);

4 , если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4;

6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно;

6, если оно четное и его цифровой корень* делится на 3;

Число делится на: 8, если три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на 8;

10 , если его последняя цифра – 0;

11, если сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11;

25 , если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 25.

Цифровой корень числа* – это цифра, которая получается в результате сложения всех цифр некоторого числа, затем всех цифр найденной суммы и так до тех пор, пока не останется одна цифра. Цифро-

вой корень для числа, записанного в десятичной системе счисления, равен остатку от деления его на 9.

Наибольший общий делитель (НОД):

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое делит-

ся и число a , и число b . Например : НОД (5;15) = 5, НОД (15; 9) = 3.

Наименьшее общее кратное (НОК):

Наименьшим общим кратным чисел a и b называется наименьшее число, которое делится и на число a , и на число b. Например : НОК (5; 15) = 15, НОК (15; 9) = 45.

НОК ( a; b ) × НОД ( a; b ) = a × b .

Простые и составные числа

Простые числа – натуральные числа, которые имеют два разных делителя (1 и само число).

Например : 2; 3; 5; 7; 11; 13; … – простые числа.

Составные числа – натуральные числа, которые имеют более двух делителей. Например : 4; 6; 9; 10; … – составные числа.

ТЕМА 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ, СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Обыкновенной дробью называется выражение , где a N, b N . Число a называется числите-

лем , а число b – знаменателем . Дробная черта означает деление. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делится число (величина), числитель – сколько таких частей взято.

Дробь называется правильной , если его числитель меньше знаменателя. Например : ; .

Дробь называется неправильной , если его числитель равен знаменателю или больше его. Например : ; .

Смешанным числом называется сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака «+».

Например : 1 ; 17 .

Выделение целой части из неправильной дроби и наоборот

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть , необходимо разделить с остатком числитель на знаменатель: неполное частное будет целой частью, остаток – числителем, а знаменатель – тот же.

Например : = 1 ; = 4 .

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби , необходимо умножить его це-

лую часть на знаменатель дроби и прибавить числитель, полученное число – это числитель неправильной дроби, а знаменатель остается прежним.

Основное свойство дробей : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то, получим дробь, которая равна данной.

Сокращение дроби – это деление числителя и знаменателя на общий делитель числителя и знаменателя дроби, который больше единицы.

Сложение обычных дробей и смешанных чисел

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Сложение дробей с разными знаменателями:

, если НОД (b; d) = 1.

Сложение смешанных чисел:

Вычитание обычных дробей и смешанных чисел

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Отнимание дробей с разными знаменателями:

, если НОД ( b; d ) = 1.

Отнимание смешанных чисел:

Умножение обычных дробей

Умножение смешанных чисел:

Чтобы разделить дробь на дробь необходимо заменить делание умножением, а вторую

дробь заменить обратной (т.е. перевернуть её):

Деление смешанных чисел:

ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Целые числа – натуральные числа, им противоположные числа и число 0. Множество целых чисел обозначается символом Z . Z =

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число a можно представить в виде дроби:

Сравнение положительных и отрицательных чисел

Любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа. Нуль меньше любого положительного числа.

Например : -4 < 0; -3 < 2; 0 < 2.

Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками

1) Сложение отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа необходимо их прибавить и поставить их общий знак: –a + (–b) = –a –b= –(a+b) , где a и b – положительные числа.

Например : –7 +(– 3) = –7–3= –(7+3) = –10; –11–8 = –19.

2) Сложение чисел с разными знаками. Чтобы прибавить два числа с разными знаками необходимо от большего числа по модулю отнять меньшее число по модулю, и поставить знак большего числа по модулю.

Например : –10 + 6 = –(ǀ10ǀ–ǀ6ǀ) = –4; –15 + 24 = +(ǀ24ǀ–ǀ15ǀ) = 9.

Вычитание положительных и отрицательных чисел

Отнять от числа a число b означает прибавить к числу a число, противоположное b : a – b = a + (–b) .

Например : 7 – 9 = 7 + (–9) = –2.

Умножение положительных и отрицательных чисел

–a ∙ b = a ∙ (–b) = – (ab) , где a, b – положительные числа.

Например : –5 ∙ 4 = –20.

–a ∙ (–b) = ab , где a, b – положительные числа.

Минус на минус даёт плюс. – (–) = +; – ∙ – = +

Например: –7 ∙ (–5) = 35.

Деление положительных и отрицательных чисел

a : (–b) = –a : b = –(a : b) , где a, b – положительные числа.

Например : 12 : ( – 4) = –3.

–a : (–b) = a : b , где a, b – положительные числа. Минус на минус даёт плюс. – : – = +

Например: –25 : (–5) = 5.

Рациональные числа – это числа, которые можно подавать в виде

ство рациональных чисел обозначают символом Q . Например:

число – неоконченная периодическая десятичная дробь!

На нуль делить нельзя !

Пропорции : или a : b = c : d , где a, d – крайние члены, b,c – средние члены.

равносильна равенствам: ad = bc ;

ТЕМА 4. ПРОЦЕНТЫ.

Сотую часть любой величины, или числа называют процентом .

Процент обозначают знаком % . То есть

Чтобы превратить десятичную дробь в проценты, нужно её умножить на 100.

Например : 0,15 = 15 %; 1,4 = 140 %.

Чтобы превратить проценты в десятичную дробь, нужно число процентов разделить на 100.

Например : 30 % = 0,3; 247 % = 2,47.

ТЕМА 5. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ И ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Степень числа a с натуральным показателем n , большего единицы, называют произведением n множителей, каждый из которых равен a : a n = a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a , .

Первой степенью числа называют само число: a 1 = a .

В записи a n = b число a называется основанием степени, n – показателем степени, a n – степенью, b – значением степени.

a m : a n = a m-n , или

Стандартный вид числа

Стандартный вид числа: a ∙ 10 n , где 1 ≤ a <10 и

Число n называют порядком числа.

ТЕМА 6. ОДНОЧЛЕНЫ.

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Число 0 назыв. нулевым одночл. и не имеет степени. Например: 5 a , 6 a 2 b, 3, x .

Одночлен в стандартном виде – одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с разными буквенными основаниями (напр.: 3ab, 12x 2 y, -a ).

Умножаются многочлены по принципу 1-1; 1-2; 2-1; 2-2 (2a+3b)(2c+3d) = 2a2c+2a3d+3b2c+3b3d = 4ac+6ad+6bc+9bd .

ТЕМА 7. МНОГОЧЛЕНЫ.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например: 4xy+2x 2 +7.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами . Многочлен, который содержит два или три слагаемых, называют соответственно двучленом и трехчленом .

Подобные члены многочлена – это одинаковые одночлены, или одночлены, запись которых в стандартном виде отличается лишь коэффициентами.

Приведение подобных членов – это упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных членов заменяется одним членом.

Стандартный вид многочлена – это запись многочлена, все члены которого имеют стандартный вид, и среди них нет подобных. Например: a 2 – ab + b 2 ;ab + bc + ac.

! При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок : если перед скобками стоит знак «–», то скобки можно опустить, заменив знак каждого одночлена, находящегося в скобках, на противоположный. Например : (3 x 2 – 2 x + 5) – (–2 x 2 + 5 x – 19) = 3 x 2 – 2 x + 5 + 2 x 2 –5 x + 19 .

Формулы сокращённого умножения

квадрат суммы (разности)

сумма (разность) кубов

куб суммы (разности)

ТЕМА 8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.

Алгебраической называется дробь, если числитель и знаменатель этой дроби являются алгебраическими выражениями.

! При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение, получаем дробь, которая равносильна данной (такое действие можно выполнить при необходимости дополнить выражение, чтобы получить формулу). Используя данное свойство дроби, можно сокращать алгебраические дроби на общий множитель числителя и знаменателя!

ТЕМА 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ И ЕГО СВОЙСТВА.

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a . (т.е. x 2 = a ).

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a . Арифметический квадратный корень из числа a обозначается знаком √ , где a

называется подкоренным выражением , √ – знак радикала .

Действие, при помощи которого находится арифметический квадратный корень, называется

извлечением квадратного корня .

Свойства арифметических квадратных корней

ТЕМА 10. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ.

Уравнение – это равенство, содержащее переменную (или неизвестную).

Решение уравнения (корень) – значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Равносильные уравнения – уравнения, которые имеют одни и те же корни или их не имеют.

Уравнение вида ax = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением . Корень уравнения:

Основные свойства уравнений:

1. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

2. Если из одной части уравнения перенести слагаемые в другую часть и изменить при этом знаки слагаемых на противоположные, получим уравнение, равносильное данному.

3. При делении/умножении обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю, получим уравнение, равносильное данному.

Уравнение, которое содержит две переменные (неизвестные), называется уравнением с двумя переменными . Например: x – y = 5; 2 x ∙ 3 y = 12.

Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, которые превращают это уравнение в правильное числовое равенство.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c , где x и y – переменные, a, b, c – некоторые числа, называется ли-

нейным уравнением с двумя переменными .

Если a меньше b или a больше b , то записывают так: a < b или a > b . Такое выражение назы-

> – больше; < – меньше; ≥ – больше или равно; ≤ – меньше или равно. Знаки > и < являются знаками строгого неравенства; знаки ≥ и ≤ – знаки нестрогого неравенства.

! Если обе части правильного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрица-

тельное число и изменить знак неравенства на противоположный , то получим правильное неравен-

Например : 15x > 45 , разделив это неравенство на -5 , получим: -3x < -9

15x ≥ 45 , разделив это неравенство на -5 , получим: -3x ≤ -9

Как выбрать скобки для правильной записи ответа?

Если неравенство строгое (>, <), то ответ записываем в круглых скобках « ( » и « ) ». Если неравенство нестрогое (≥, ≤), то ответ записываем в квадратных скобках « [ » и « ] ».

Не зависимо от того, какое неравенство (строгое/нестрогое) и после знака, и перед знаком бесконечности всегда ставится круглая скобка !

Знак бесконечности : . Бесконечность может быть как положительная, так и отрицательная: .

Линейным называется неравенство вида ax > b (или, соответственно, ax < b ; ax ≥ b ; ax ≤ b ), где a и b – числа, x – переменная.

Решениями неравенства с одной переменой называется множество таких значений переменной, которые преобразуют её в верное числовое неравенство.

Системы уравнений с двумя переменными

Системой уравнений называются два или несколько уравнений, у которых необходимо найти все общие решения. Уравнения системы записываются столбиком и объединяются фигурной скобкой. Система уравнений называется линейной , если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему двух линейных уравнений с двумя переменными обычно записывают в виде:

Решить систему уравнений – означает найти все её решения или доказать, что решений нет. Если система имеет конечное число решений, то она называется определенной .

Если система имеет бесконечное число решений, то она называется неопределенной .

Две системы называются равносильными , если они имеют одинаковые множества решений.

Способы решения систем

1. Способ подстановки .

– выразить из первого уравнения переменную x (обычно) или y и подставить во второе уравнение,

а второе уравнение системы оставить без изменений. Получим систему, равносильную данной. Напр. :

→ Решим второе уравнение системы:

→ Раскроем скобки и получим: 45 – 9y – 4y = 6;

–13y = 6 – 45; –13y = –39; y = 3.

→ Подставим полученное значение переменной y в первое уравнение системы:

На первом месте указывается ответ x , а на втором – y !

2. Графический способ.

– для решения системы графическим способом строят графики всех уравнений, входящих в систему. Координаты точек пересечения графиков являются решениями этой системы.

3. Способ сложения.

– способом сложения удобно решать системы, у которых коэффициенты при одной из переменных – противоположные числа. Например :

дальнейшее решение стандартное

Системы линейных неравенств с одной переменной

Два или более неравенства с одной переменной, относительно которых поставлена задача найти все общие решения, называют системой неравенств с одной переменной .

Решениями системы неравенств называются такие значения переменной, которые являются решениями сразу всех неравенств, входящих в данную систему.

Решить систему неравенств – означает найти все её решения или доказать, что решений нет.

ТЕМА 11. ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x отвечает единственное значение y .

Функция обозначается или одной буквой f или f(x) , или равенством y = f(x) , где x – независимая переменная или аргумент, y – зависимая переменная или значение функции, f(x o ) – значение функции f в точке x o .

Область определения функции ( D ) – множество тех значений, которые может приобретать аргумент.

Область (множество) значений функции ( E ) – это множество тех значений, которые может приобретать сама функция при всех значениях аргумента из области определения.

Например: . Область определения: x – 1 ≠ 0; x ≠ 1, x – любое число,

Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами ( x; y ), где первая координата x «пробегает» всю область определения функции f(x) , а вторая координата – это соответствующее значение функции f в точке x .

Способы задания функции

1. Аналитический способ: функция задаётся с помощью математической формулы.

2. Табличный способ: функция задаётся с помощью таблицы.

3. Описательный способ: функция задаётся словесным описанием.

4. Графический способ: функция задаётся с помощью графика.

Возрастание и убывание функции

Функция y = f(x) является возрастающей , если большему значению аргумента соответствует

большее значение функции.

Функция y = f(x) является убывающей , если большему значению аргумента соответствует

меньшее значение функции.

на рис. функция периодическая, парная↓

Функцию y = f(x) называют периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x из области определения числа x + T и x – T также принадлежит области определения и выполня-

ется неравенство: f(x + T) = f(x – T) = f(x).

Если функция y = f (x) – периодическая с наименьшим положительным периодом T.

Парные и непарные функции

Функция y = f(x) является парной , если для любого значения x из D (y) значения –x также при-

надлежит D (y) и выполняется равенство f (–x) = f (x) . График парной функции симметричен относительно оси OY.