Метод Гаусса или почему дети не понимают математику
Карл Фридрих Гаусс, величайший математик долгое время колебался, выбирая между философией и математикой. Возможно, именно такой склад ума позволил ему столь заметно «наследить» в мировой науке. В частности, создав «Метод Гаусса» …
… Почти 4 года статьи этого сайта касались школьного образования, в основном, со стороны философии, принципов (не)понимания, внедряемых в сознание детей. Приходит время бОльшей конкретики, примеров и методов … Я верю, что именно такой подход к привычным, запутанным и важным областям жизни дает лучшие результаты.
… Мы, люди так устроены, что сколько ни говори об абстрактном мышлении, но понимание всегда происходит через примеры. Если примеры отсутствуют, то принципы уловить невозможно … Как невозможно оказаться на вершине горы иначе, как пройдя весь ее склон от подножия.
Тоже и со школой: пока живых историй недостаточно мы инстинктивно продолжаем считать ее местом, где детей учат понимать.
Например, обучая методу Гаусса …
Метод Гаусса в 5 классе школы
Оговорюсь сразу: метод Гаусса имеет гораздо более широкое применение, например, при решении систем линейных уравнений. То, о чем мы будем говорить, проходят в 5 классе. Это начала, уяснив которые, гораздо легче разобраться в более «продвинутых вариантах». В этой статье мы говорим о методе (способе) Гаусса при нахождении суммы ряда
Вот пример, который принес из школы мой младший сын, посещающий 5 класс московской гимназии.
Школьная демонстрация метода Гаусса… Учитель математики с использованием интерактивной доски (современные методы обучения ) показал детям презентацию истории «создания метода» маленьким Гауссом.
… Школьный учитель выпорол маленького Карла (устаревший метод, нынче в школах не применяется) за то, что тот,
Что сделал маленький Гаусс, развивший чувство числа? Заметил некоторую особенность числового ряда с постоянным шагом (арифметической прогрессии). И именно это сделало его впоследствии великим ученым, умеющим замечать, обладающим чувством, инстинктом понимания.
… Этим и ценна математика, развивающая способность видеть общее в частном — абстрактное мышление. Поэтому большинство родителей и работодателей инстинктивно считают математику важной дисциплиной …
«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. М.В.Ломоносов».
Однако, последователи тех, кто порол розгами будущих гениев, превратили Метод в нечто противоположное. Как 35 лет назад говорил мой научный руководитель: «Занаучили вопрос». Или как сказал вчера о методе Гаусса мой младший сын: «Может не стоит из этого большую науку делать-то, а?»
Последствия творчества «ученых» видны по уровню нынешней школьной математики, уровню ее преподавания и понимания «Царицы наук» большинством.
Методы объяснения метода Гаусса в 5 классе школы
Учитель математики московской гимназии, объясняя метод Гаусса по-Виленкину, усложнил задание.
Что, если разность (шаг) арифметической прогрессии будет не единица, а другое число? Например, 20.
Задача, которую он дал пятиклассникам:
посчитать сумму ряда чисел:
Прежде, чем познакомиться с гимназическим методом, заглянем в Сеть: как это делают школьные учителя — репетиторы по математике.
Метод Гаусса: объяснение №1Известный репетитор на своем канале YOUTUBE приводит следующие рассуждения:
«запишем числа от 1 до 100 следующим образом:
1, 2, 3, … 48, 49, 50
«Обратите внимание: сумма каждой пары чисел из верхнего и нижнего рядов одинакова и равняется 101 ! Посчитаем количество пар, оно составляет 50 и умножим сумму одной пары на количество пар! Вуаля: Ответ готов!».
«Если вы не смогли понять — не расстраивайтесь!», — три раза в процессе объяснения повторил учитель. «Этот метод вы будете проходить в 9 классе!»
Метод Гаусса: объяснение №2Другой репетитор, менее известный (судя по числу просмотров) использует более научный подход, предлагая алгоритм решения из 5 пунктов, которые необходимо выполнить последовательно.
Для непосвященных: 5 это одно из чисел Фибоначчи, традиционно считающееся магическим. Метод из 5 шагов всегда более научен, чем метод, например, из 6 шагов. … И это вряд ли случайность, скорее всего, Автор — скрытый приверженец теории Фибоначчи
Дана арифметическая прогрессия: 4, 10, 16 … 244, 250, 256.
Алгоритм нахождения суммы чисел ряда методом Гаусса:4, 10, 16 … 244, 250, 256
При этом нужно помнить о правиле «Плюс один» : к полученному частному необходимо прибавить единицу: иначе мы получим результат, меньший на единицу, чем истинное число пар: 42 + 1 = 43.
Это и есть искомая сумма арифметической прогрессии от 4 до 256 с разницей 6 !
Метод Гаусса: объяснение в 5 классе московской гимназииА вот как требовалось решить задачу нахождения суммы ряда:
20+40+60+ … +460+480+500
в 5 классе московской гимназии, учебник Виленкина (со слов моего сына).
… Показав презентацию, учительница математики показала пару примеров по методу Гаусса и дала классу задачу по нахождению суммы чисел ряда с шагом 20.
При этом требовалось следующее:
Как видим, это более компактная и эффективная методика: число 3 — также член последовательности Фибоначчи
Мои комментарии к школьной версии метода Гаусса
Великий математик определенно выбрал бы философию, если бы предвидел, во что превратят его «метод» последователи немецкого учителя, выпоровшего Карла розгами. Он узрел бы и символизм, и диалектическую спираль и неумирающую глупость «учителей», пытающихся измерить алгеброй непонимания гармонию живой математической мысли ….
Между прочим: знаете ли вы. что наша система образования уходит корнями в немецкую школу 18 — 19 веков?
Но Гаусс выбрал математику.
В чем суть его метода?
Разве возможно одной из приведенных «модификаций метода» Гаусса посчитать сумму чисел арифметической прогрессии почти моментально? По «алгоритмам» маленький Карл гарантированно избежал бы порки, воспитал отвращение к математике и подавил на корню свои творческие импульсы.
Почему репетитор так настойчиво советовал пятиклассникам «не бояться непонимания» метода, убеждая, что «такие» задачи они будут решать аж в 9 классе? Психологически безграмотное действие. Удачным приемом было отметить: «Видите? Вы уже в 5 классе можете решать задачи, которые будете проходить только через 4 года! Какие вы молодцы!».
Для использования метода Гаусса достаточно уровня 3 класса, когда нормальные дети уже умеют складывать, умножать и делить 2 -3 значные числа. Проблемы возникают из-за неспособности взрослых учителей, «не въезжающих», как объяснить простейшие вещи нормальным человеческим языком, не то что математическим … Не способных заинтересовать математикой и напрочь отбивающих охоту даже у «способных».
… Или, как прокомментировал мой сын: «делающих из этого большую науку».
Метод Гаусса, мои объяснения
Нашему ребенку мы с супругой объясняли этот «метод», кажется, еще до школы …
Простота вместо усложнения или игра в вопросы — ответы«»Посмотри, вот числа от 1 до 100. Что ты видишь?»
«Как можно их сложить?» Сын уловил, что такие вопросы не задаются «просто так» и нужно взглянуть на вопрос «как-то по-другому, иначе, чем он делает обычно»
«Что легче: сложить, например, 5 и 6 или 5 и 95?» Наводящий вопрос … Но ведь любое обучение и сводится к «наведению» человека на «ответ» — любым приемлемым для него способом.
На этом этапе уже могут возникнуть догадки о том, как «сэкономить» на вычислениях.
Если ребенок обнаружил, что сложение пар чисел, дающих в сумме сотню, плевое занятие, то «арифметическая прогрессия с разницей 1» — довольно муторная и неинтересная для ребенка вещь — вдруг для него обрела жизнь. Из хаоса возник порядок, а это всегда вызывает энтузиазм: так мы устроены!
Зачем заставлять тупо переписывать числа последовательности в тетрадь: чтобы даже у способных не возникло и единого шанса на понимание? Статистически, конечно, а ведь массовое образование заточено на «статистику» …
Куда делся ноль?И все-таки складывать числа, дающие в сумме 100 для ума гораздо более приемлемо, чем дающие 101 …
«Школьный метод Гаусса» требует именно этого: бездумно складывать равноотстоящие от центра прогрессии пары чисел, несмотря ни на что.
А если посмотреть?
Все-таки ноль — величайшее изобретение человечества, которому более 2 000 лет. А учителя математики продолжают его игнорировать.
Как упразднить «правило плюс 1»?Если честно, то я о таком правиле впервые услышал от того ютубовского репетитора …
Как я до сих пор поступаю, когда требуется определить количество членов какого-нибудь ряда?
Смотрю на последовательность:
а когда совсем устал, то на более простой ряд:
и прикидываю: если вычесть из 5 единицу, то получится 4, но я совершенно ясно вижу 5 чисел! Следовательно, нужно прибавить единицу! Чувство числа, развитое в начальной школе, подсказывает: даже если членов ряда будет целый гугл (10 в сотой степени), закономерность останется той же.
Чтобы через пару — тройку лет заполнить все пространство между лбом и затылком и перестать соображать? А зарабатывать на хлеб с маслом как? Ведь мы ровными шеренгами движемся в эпоху цифровой экономики!
Еще о школьном методе Гаусса: «зачем науку-то из этого делать. »
Я не зря разместил скриншот из тетрадки сына…
«Что там было, на уроке?»
«Ну, я сосчитал сразу, поднял руку, но она не спросила. Поэтому, пока остальные считали я стал делать ДЗ по русскому языку, чтобы не тратить время. Потом, когда остальные дописали (. ), она вызвала меня к доске. Я сказал ответ.»
«Правильно, покажи, как ты решал», — сказала учительница. Я показал. Она сказала: «Неправильно, нужно считать так, как я показала!»
«Хорошо, что двойку не поставила. И заставила написать в тетради «ход решения» по-ихнему. Зачем науку-то большую из этого делать. »
Главное преступление учителя математики
Вряд ли после того случая Карл Гаусс испытал высокое чувство уважения по отношению к школьному учителю математики. Но если бы он знал, как последователи того учителя извратят самую суть метода … он взревел бы от негодования и через Всемирную организацию интеллектуальной собственности ВОИС добился запрета на использование своего честного имени в школьных учебниках.
В чем главная ошибка школьного подхода? Или, как я выразился — преступление школьных учителей математики против детей?
Алгоритм непониманияЧто делают школьные методисты, абсолютное большинство которых думать не умеет ни фига?
Создают методики и алгоритмы (см. статью об этом). Это защитная реакция, предохраняющая учителей от критики («Все делается согласно …»), а детей — от понимания. И таким образом — от желания критиковать учителей! (Вторая производная чиновничьей «мудрости», научный подход к проблеме ). Человек не улавливая смысл скорее будет пенять на собственное непонимание, а не на тупость школьной системы.
Что и происходит: родители пеняют на детей, а учителя … то же на детей, «не понимающих математику.
Что сделал маленький Карл?
Абсолютно нешаблонно подошел к шаблонной задаче. Это квинтэссенция Его подхода. Это главное, чему следует учить в школе: думать не учебниками, а головой. Конечно, есть и инструментальная составляющая, которую вполне можно использовать … в поисках более простых и эффективных методов счета.
Метод Гаусса по-ВиленкинуВ школе учат, что метод Гаусса состоит в том, чтобы
что, если число элементов ряда окажется нечетным, как в задаче, которую задали сыну.
«Подвох» состоит в том, что в этом случае следует обнаружить «лишнее» число ряда и прибавить его к сумме пар. В нашем примере это число 260.
Как обнаружить? Переписывая все пары чисел в тетрадь! (Именно почему учительница заставила детей делать эту тупую работу, пытаясь научить «творчеству» методом Гаусса … И именно поэтому такой «метод» практически неприменим к большим рядам данных, И именно поэтому он не является методом Гаусса).
Немного творчества в школьной рутине …Сын же поступил иначе.
(20 + 500, 40 + 480 …).
А практически делается еще легче, что и позволяет выкроить 2-3 минуты на ДЗ по русскому, пока остальные «считают». К тому же сохраняет количество шагов методики: 5, что не позволяет критиковать подход за антинаучность.
Явно этот подход проще, быстрее и универсальнее, в стиле Метода. Но … учительница не то, что не похвалила, но и заставила переписать «правильным образом» (см. скриншот). То есть предприняла отчаянную попытку задушить творческий импульс и способность понимать математику на корню! Видимо, чтобы потом наняться репетитором … Не на того напала …
Все, что я так долго и нудно описал можно объяснить нормальному ребенку максимум за полчаса. Вместе с примерами.
Причем так, что он это никогда не забудет.
И это будет шаг к пониманию … не только математики.
Признайтесь: сколько раз в жизни вы складывали методом Гаусса? И я ни разу!
Но инстинкт понимания, который развивается (или гасится) в процессе изучения математических методов в школе … О. Это поистине незаменимая вещь!
Особенно в век всеобщей цифровизации, в который мы незаметно вошли под чутким руководством Партии и Правительства.
Несколько слов в защиту учителей …
Несправедливо и неправильно всю ответственность за такой стиль обучения сваливать исключительно на школьных учителей. Действует система.
Некоторые учителя понимают абсурдность происходящего, но что делать? Закон об образовании, ФГОСы, методики, технологические карты уроков … Все должно делаться «в соответствии и на основании» и все должно быть задокументировано. Шаг в сторону — встал в очередь на увольнение. Не будем ханжами: зарплата московских учителей ну очень неплохая … Уволят — куда идти.
Поэтому сайт этот не об образовании. Он об индивидуальном образовании, единственно возможном способе выбраться из толпы поколения Z …