5.2 Относительное движение. Движение со связями: задачи с ответами

(Все задачи по кинематике и ответы к ним находятся также в zip-архиве (332 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить все задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

5.22. Из точки B бросают камень в горизонтальном направлении BC с начальной скоростью vo = 10 м/с. Одновременно из точки A, лежащей на 10 м выше горизонтали BC начинает свободно падать второй камень (рисунок слева). Через какое время расстояние между камнями будет минимальным и чему оно равно? Расстояние BC = 10 м. [1 c; 10 м]

5.23. Из одной и той же точки одновременно бросают два камня с одинаковыми начальными скоростями vo = 10 м/с: один — вертикально вверх, другой — под углом α = 30° к горизонту. Определить расстояние между камнями через t = 2 с после броска. [20 м]

5.24. По грязной дороге едут друг за другом две машины со скоростью v. При каком минимальном расстоянии между машинами грязь, срывающаяся с колес передней машины, не будет попадать на заднюю? Считать, что в момент отрыва скорость комков грязи равна скорости соответствующей точки колеса. Радиус колеса считать малым по сравнению с дальностью полета грязи. [ Lmin = v 2 /8 ]

5.26. Два тела одновременно брошены из одной точки с одинаковыми скоростями vo под углами α и π/2 − α к горизонту. Как зависит от времени расстояние между телами? [ d(t) = vot√(2(1 − sin 2α)) ]

5.28. Стержень AB движется произвольным образом. В некоторый момент времени скорость точки A равна v и направлена под углом α к оси стержня, а скорость точки B направлена под углом β к той же оси (рисунок слева). Определить скорость точки C (середины стержня) в этот же момент. Ответ на рисунке.

5.29. С каким ускорением должна двигаться наклонная плоскость вправо, чтобы не мешать телу свободно падать (рисунок слева)? Угол наклона плоскости равен α. [ a = g•ctg α ]

5.30. Велосипедист, не вращая педалями, движется по горизонтальной окружности. При этом переднее колесо велосипеда движется по окружности радиусом R. Найти радиус окружности, по которой движется заднее колесо, если расстояние между осями колес равно L (R > L). [ r = √(R 2 − L 2 ). Указание: скорость второго тела направлена вдоль нити и по касательной к окружности]

5.32. За катером, движущимся со скоростью 30 км/ч, едет спортсмен на водных лыжах (рисунок слева). Углы между векторами скоростей катера и лыжника и тросом равны: α = 150°; β = 60°. Определить скорость лыжника. [52 км/ч]

5.33. Груз поднимается при помощи двух неподвижных блоков. Определить скорость груза в момент, когда угол между нитями равен α, если нити вытягиваются с одинаковыми и постоянными скоростями v (рисунок слева). [ u = v/cos(α/2) ]

5.35. Две расположенные рядом платформы вращаются в противоположных направлениях с одинаковыми угловыми скоростями w = 1 с −1 . В точках A1 и A2 стоят два наблюдателя. Известно: O1O2 = 5 м; O1A1 = O2A2 = 2 м. Найти скорость наблюдателя A1 относительно наблюдателя A2 в указанный на рисунке слева момент времени. [1 м/с. Указание: в системе наблюдателя A2 весь окружающий мир вращается вокруг него с угловой скоростью w по часовой стрелке]

5.36. Стержень AB приводится в движение нитью BC (рисунок слева). Когда стержень проходит вертикальное положение скорость точки C равна v, а угол между нитью и стержнем — α. Найти скорость точки B в этот момент. [ vB = v/sin α ]

5.37. Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси. По краю платформы с постоянной скоростью идет человек A (рисунок слева). Ускорение человека относительно платформы равно 0,5 м/с 2 , а переносное ускорение точек края платформы — 2 м/с 2 . Найти абсолютное ускорение человека. [4,5 м/с 2 ]

5.38. Горизонтальный стержень длиной L вращается вокруг вертикальной оси O с угловой скоростью w (рисунок слева). На движущийся конец стержня насажено колесо радиусом r. Угол между осью колеса и стержнем равен α, а само колесо катится по горизонтальному столу. Найти угловую скорость вращения колеса.

[ w1 = (wLcos α)/r. Указание: если бы колесо не вращалось, то точки колеса, соприкасающейся с поверхностью стола, была бы равна v = wL. Разложим эту скорость на составляющие: v1 — параллельная плоскости колеса; v2 — параллельная оси колеса (см. рисунок). За счет вращения сила трения гасит составляющую скорости v1. ]

5.39. Колесо радиусом R катится без проскальзывания с постоянной скоростью v по горизонтальной поверхности. Приняв положение точки A на рисунке слева за начальное, написать зависимости ее координат XA и YA от времени.[ xA(t) = vt − Rsin (vt/R);yA(t) = R(1 − cos (vt/R)). Указание: движение точки A можно представить как сумму поступательного движения с постоянной скоростью v и вращательного вокруг центра колеса с угловой скоростью v/R. ]

5.40. Шар может свободно вращаться вокруг горизонтального стержня OA, который, в свою очередь, вращается с угловой скоростью wo вокруг вертикальной оси (рисунок слева). Определить угловую скорость вращения шара, если проскальзывания нет. [ w = wo√2. Указание: прямая, проходящая через точку O и точку касания шара с поверхностью, является мгновенной осью вращения.]