Контрольная работа по мат. анализу 13

Решение. Если числовая функция задана аналитически (в виде формулы ) и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 4.2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям:

Пример 4.3. Найти область определения функции

Решение. Для существования функции необходимо, чтобы . Для существования функции надо, чтобы , откуда . Для существования функции необходимо, чтобы , откуда и .

Таким образом, получены условия

Пример 4.4. Определить, являются ли функции

Четными или нечетными.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т. е. если , то и ;

2. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

То функция - нечетная;

То функция является четной;

Следовательно, функция нечетная;

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример 4.5. Найти период функции

Решение. При решении задач на нахождение периода функции следует использовать следующее.

Функция является периодической, если существует такое число Т¹0, GB> ?@8 ;N1>< X из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство .

В этом случае Т есть период функции .

Так как , то период Т=1.

Пример 4. 6. Доказать, что

Решение. Зададим произвольное и покажем, что существует положительное такое, что из неравенства вытекает неравенство .

Значит, если положить , то выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства . Таким образом, согласно определению, заключаем, что

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции.

Теорема. Если при существуют пределы функций и , то:

, где - постоянный множитель.

Пример 4.7. Вычислить

Решение. Так как

То по теореме о пределе частного получаем, что

Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень X.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 4. 8. Вычислить

Решение. Наивысшая степень X - вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

Пример 4.9. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

Пример 4. 10. Вычислить

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

Пример 4.11. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

Пример 4.12. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень X - первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на X, получим

Пример 4.13. Вычислить

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Пример 4.14. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.

Естественно, что на интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Вычислим односторонние пределы

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

Пример 4.15. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

Решение. Область определения функции

Найдем односторонние пределы

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 3.

Пример 5.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

2. есть сложная функция.

Производная сложной функции имеет вид

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра T). Производная от по определяется формулой

Находим производные от и по параметру T:

Пример 5.2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

Подставляя значения в уравнение, получим

Пример 5.3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение движения в любой момент времени T

Пример 5.4. Найти дифференциалы функций

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

Полагая и , получим .

Пример 5.5. Вычислить приближенное значение:

Решение. Если требуется вычислить и если проще вычислить и , то при достаточно малой по абсолютному значению разности можно заменить приращение функции ее дифференциалом и отсюда приближенное значение искомой величины по формуле

1. Будем рассматривать как частное значение функции при . Пусть , тогда

Подставляя в формулу, получим

Пример 5.6. Найти пределы используя правило Лопиталя

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

Здесь правило Лопиталя применено дважды.

Пример 6.1. Исследовать функцию и построить её график.

1. Функция определена и непрерывна в интервалах .

2. Функция общего вида, так как

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при X = 0, Y= -2, т. е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: . Вычислим пределы функции при слева и справа.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум.

- точки, подозрительные на экстремум.

Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.

Получили, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 4).

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

Точек перегиба нет, так как .

Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 5а).

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции.