В.А. СМИРНОВ ГЕОМЕТРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

2 ВВЕДЕНИЕ Одной из важных целей обучения геометрии в школе является развитие конструктивных умений учащихся, включающих в себя умения изображать различные геометрические фигуры, проводить дополнительные построения. Практическое отсутствие задач на изображение при обучении геометрии в школе тормозит развитие геометрических представлений учащихся, тем самым, существенно снижая качество обучения. Данное пособие предназначено для организации текущего и итогового контролей за формированием базовых умений учащихся изображать геометрические фигуры на плоскости. Оно знакомит с форматом геометрических задач ГИА по математике и может быть использовано для подготовки к ГИА при работе по любому учебнику геометрии, входящему в Федеральный перечень. Предлагаемые задачи на изображение геометрических фигур на клетчатой бумаге отличаются от традиционных задач на построение, которые проводятся с помощью циркуля и линейки. В каждой из них требуется построить геометрическую фигуру на клетчатой бумаге или найти геометрическое место точек с заданным свойством. Для решения таких задач не требуется специальных инструментов, достаточно обычной тетради в клетку и карандаша или ручки. Все изображения можно проводить «от руки» или с использованием линейки. При этом важным является не то, как аккуратно проведена та или иная линия, а то, как правильно указаны характерные точки (узлы клеток), через которые она проходит. Пособие содержит пять самостоятельных работ и одну контрольную работу в четырех вариантах каждая. Самостоятельные работы содержат по 6 задач и рассчитаны на минут. Все задачи сопровождаются рисунками, позволяющими учащимся лучше понять условие, наметить план решения, провести дополнительные построения. Итоговая контрольная работа содержит 12 задач и рассчитана на 45 минут. Самостоятельная работа 1 включает в себя задачи на изображение отрезков, прямых и углов. Самостоятельная работа 2 включает в себя задачи на изображение треугольников. Самостоятельная работа 3 содержит задачи на изображение четырехугольников. В самостоятельной работе 4 даны задачи на нахождение центров окружностей и изображение касательных. В самостоятельную работу 5 включены задачи на изображение фигур, симметричных данным. Итоговая контрольная работа содержит задачи по перечисленным выше темам. В конце пособия даны ответы ко всем задачам. 3

3 Самостоятельная работа 1 Отрезки, прямые и углы Вариант 1 1. Изобразите отрезок, длина которого равна 10 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. AB. 3. Через точку C проведите прямую, перпендикулярную прямой 4

4 4. На прямой c отметьте точки, удаленные от точки C на расстояние, равное 5 (стороны квадратных клеток равны 1). 5. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 6. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. 5

5 Самостоятельная работа 1 Отрезки, прямые и углы Вариант 2 1. Изобразите отрезок, длина которого равна 5 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. AB. 3. Через точку C проведите прямую, перпендикулярную прямой 6

6 4. На прямой c отметьте точки, удаленные от точки C на расстояние, равное 10 (стороны квадратных клеток равны 1). 5. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 6. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. 7

7 Самостоятельная работа 1 Отрезки, прямые и углы Вариант 3 1. Изобразите отрезок, длина которого равна 13 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. AB. 3. Через точку C проведите прямую, перпендикулярную прямой 8

8 4. На прямой c отметьте точки, удаленные от точки C на расстояние, равное 5 (стороны квадратных клеток равны 1). 5. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 6. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. 9

9 Самостоятельная работа 1 Отрезки, прямые и углы Вариант 4 1. Изобразите отрезок, длина которого равна 3 2 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. AB. 3. Через точку C проведите прямую, перпендикулярную прямой 10

10 4. На прямой c отметьте точки, удаленные от точки C на расстояние, равное 10 (стороны квадратных клеток равны 1). 5. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 6. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. 11

11 Самостоятельная работа 2 Треугольники Вариант 1 1. Изобразите треугольник со сторонами, равными 5, 10, 13 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 3. Изобразите равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 12

12 4. Изобразите точку пересечения медиан треугольника ABC. 5. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 6. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 13

13 Самостоятельная работа 2 Треугольники Вариант 2 1. Изобразите треугольник со сторонами, равными 3, 4, 5 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 3. Изобразите равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 14

14 4. Изобразите точку пересечения медиан треугольника ABC. 5. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 6. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 15

15 Самостоятельная работа 2 Треугольники Вариант 3 1. Изобразите треугольник со сторонами, равными 4, 5, 13 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 3. Изобразите равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 16

16 4. Изобразите точку пересечения медиан треугольника ABC. 5. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 6. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 17

17 Самостоятельная работа 2 Треугольники Вариант 4 1. Изобразите треугольник со сторонами, равными 2, 5, 17 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 3. Изобразите равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является отрезок AB, а вершина C находится в одном из узлов сетки. 18

18 4. Изобразите точку пересечения медиан треугольника ABC. 5. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 6. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 19

19 Самостоятельная работа 3 Четырехугольники Вариант 1 1. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 и 4 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите квадрат ABCD, тремя вершинами которого являются точки A, B, C. 3. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. 20

20 4. Изобразите параллелограмм ABCD, двумя вершинами которого являются точки A, B, а O точка пересечения диагоналей. 5. Изобразите прямоугольник, серединами сторон которого являются точки E, F, G, H. 6. Изобразите трапецию ABCD, двумя вершинами которой являются точки A и B, а средней линией отрезок EF. 21

21 Самостоятельная работа 3 Четырехугольники Вариант 2 1. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 и 3 2 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите квадрат ABCD, тремя вершинами которого являются точки A, B, C. 3. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. 22

22 4. Изобразите параллелограмм ABCD, двумя вершинами которого являются точки A, B, а O точка пересечения диагоналей. 5. Изобразите прямоугольник, серединами сторон которого являются точки E, F, G, H. 6. Изобразите трапецию ABCD, двумя вершинами которой являются точки A и B, а средней линией отрезок EF. 23

23 Самостоятельная работа 3 Четырехугольники Вариант 3 1. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 и 6 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите квадрат ABCD, тремя вершинами которого являются точки A, B, C. 3. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. 24

24 4. Изобразите параллелограмм ABCD, двумя вершинами которого являются точки A, B, а O точка пересечения диагоналей. 5. Изобразите прямоугольник, серединами сторон которого являются точки E, F, G, H. 6. Изобразите трапецию ABCD, двумя вершинами которой являются точки A и C, а средней линией отрезок EF. 25

25 Самостоятельная работа 3 Четырехугольники Вариант 4 1. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 2 и 4 2 (стороны квадратных клеток равны 1). 2. Изобразите квадрат ABCD, тремя вершинами которого являются точки A, B, C. 3. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. 26

26 4. Изобразите параллелограмм ABCD, двумя вершинами которого являются точки A, B, а O точка пересечения диагоналей. 5. Изобразите прямоугольник, серединами сторон которого являются точки E, F, G, H. 6. Изобразите трапецию ABCD, двумя вершинами которой являются точки A и C, а средней линией отрезок EF. 27

27 Самостоятельная 4 Окружность Вариант 1 1. Отметьте центр окружности, проходящей через точки A, B и C. ABC. 2. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 3. Отметьте центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 28

28 4. Отметьте центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. 5. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 6. Проведите касательную к окружности, проходящую через точку A. Отметьте точку касания. 29

29 Самостоятельная 4 Окружность Вариант 2 1. Отметьте центр окружности, проходящей через точки A, B и C. ABC. 2. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 3. Отметьте центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 30

30 4. Отметьте центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. 5. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 6. Проведите касательную к окружности, проходящую через точку A. Отметьте точку касания. 31

31 Самостоятельная 4 Окружность Вариант 3 1. Отметьте центр окружности, проходящей через точки A, B и C. ABC. 2. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 3. Отметьте центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 32

32 4. Отметьте центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. 5. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 6. Проведите касательную к окружности, проходящую через точку A. Отметьте точку касания. 33

33 Самостоятельная 4 Окружность Вариант 4 1. Отметьте центр окружности, проходящей через точки A, B и C. ABC. 2. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 3. Отметьте центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 34

34 4. Отметьте центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. 5. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 6. Проведите касательную к окружности, проходящую через точку A. Отметьте точку касания. 35

35 Самостоятельная работа 5 Симметрия Вариант 1 1. Изобразите прямую, симметричную прямой a относительно точки O. 2. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O. 3. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 36

36 4. Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90 против часовой стрелки. 5. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны CD. 6. Изобразите все оси симметрии четырехугольника ABCD. 37

37 Самостоятельная работа 5 Симметрия Вариант 2 1. Изобразите прямую, симметричную прямой a относительно точки O. 2. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O. 3. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 38

38 4. Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90 против часовой стрелки. 5. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC. 6. Изобразите все оси симметрии четырехугольника ABCD. 39

39 Самостоятельная работа 5 Симметрия Вариант 3 1. Изобразите прямую, симметричную прямой a относительно точки O. 2. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O. 3. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 40

40 4. Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90 против часовой стрелки. 5. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC. 6. Изобразите все оси симметрии четырехугольника ABCD. 41

41 Самостоятельная работа 5 Симметрия Вариант 4 1. Изобразите прямую, симметричную прямой a относительно точки O. 2. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O. 3. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 42

42 4. Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90 против часовой стрелки. 5. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC. 6. Изобразите все оси симметрии шестиугольника ABCDEF. 43

43 Контрольная работа Вариант 1 1. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. 2. Из точки C опустите перпендикуляр на прямую AB. 3. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 44

44 4. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 5. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 6. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 и 3 2 (стороны квадратных клеток равны 1). 45

45 7. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. ABC. 8. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 9. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 46

46 10. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 11. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC. 12. Изобразите все оси симметрии четырехугольника ABCD. 47

47 Контрольная работа Вариант 2 1. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. 2. Из точки C опустите перпендикуляр на прямую AB. 3. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 48

48 4. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 5. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 6. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 и 4 (стороны квадратных клеток равны 1). 49

49 7. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. ABC. 8. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 9. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 50

50 10. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 11. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны CD. 12. Изобразите все оси симметрии четырехугольника ABCD. 51

51 Контрольная работа Вариант 3 1. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. 2. Из точки C опустите перпендикуляр на прямую AB. 3. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 52

52 4. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 5. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 6. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 2 и 4 2 (стороны квадратных клеток равны 1). 53

53 7. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. ABC. 8. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 9. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 54

54 10. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 11. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC. 12. Изобразите все оси симметрии шестиугольника ABCDEF. 55

55 Контрольная работа Вариант 4 1. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. 2. Из точки C опустите перпендикуляр на прямую AB. 3. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от точек A и B. 56

56 4. Изобразите точку пересечения высот треугольника ABC. 5. Изобразите треугольник, серединами сторон которого являются точки A, B, C. 6. Изобразите ромб, диагонали которого равны 2 и 6 (стороны квадратных клеток равны 1). 57

57 7. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD, тремя вершинами которой являются точки A, B, C. ABC. 8. Отметьте центр окружности, описанной около треугольника 9. Отметьте центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 58

58 10. Изобразите треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой c. 11. Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно середины стороны BC. 12. Изобразите все оси симметрии четырехугольника ABCD. 59