БИХ фильтры (бесконечно импульсная характеристика фильтра)

Высококачественные частотные нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) имеют, как правило, большую ширину окна (многочленный оператор фильтра). Чем меньше допустимая ширина переходной зоны частотной характеристики фильтра между полосами пропускания и подавления, тем больше окно фильтра. Альтернативное решение - применение рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ), для которых количество коэффициентов фильтра может быть сокращено по сравнению с НЦФ.

Рекурсивные фильтры имеют определенную "память" по значениям предыдущих отсчетов, которая, в пределе, может быть бесконечной. С учетом этого фактора рекурсивные фильтры получили название фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров), в отличие от нерекурсивных фильтров, всегда имеющих конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтры). Реакция рекурсивного фильтра на сигнал с учетом "памяти" исключает возможность создания фильтров с четным импульсным откликом, и частотные характеристики рекурсивных фильтров всегда являются комплексными. Проектирование рекурсивных частотных фильтров с заданными частотными характеристиками осуществляется с использованием z-преобразований.

Принципы рекурсивной фильтрации

Конструкция РЦФ отображается в z-образе передаточной функции фильтра в виде отношения двух многочленов:

где: B ( z ) = B 0 + B 1 z + B 2 z 2 + . . . + B N z n , A ( z ) = A 1 z + A 2 z 2 + . . . + A M z M

Одно из важнейших свойств рекурсивных фильтров - возможность получения узких переходных зон при конструировании частотных фильтров, так как функция H ( z ) фильтра может резко изменяться при приближении к нулю (но не нулевого) многочлена в знаменателе ( 1.1 ) .

Рекурсивная фильтрация требует более высокой точности вычислений по сравнению с нерекурсивной, т.к. использование предыдущих выходных отсчетов для текущих вычислений может приводить к накапливанию ошибок. Особое значение это имеет для фильтров с передаточными функциями высоких порядков ( M > 3 ) , которые чувствительны к эффектам конечной разрядности. Такие фильтры, как правило, разбиваются на фрагменты – звенья второго и/или первого порядка, и реализуются в каскадной или в параллельной форме.

B n ( z ) = b n .0 + b n .1 z + b n .2 z 2 , A n ( z ) = 1 + a n .1 z + a n .2 z 2

что дает параллельную форму фильтра, показанную на рис. 1.3. Параллельная конструкция фильтра применяется реже каскадной, хотя это может объясняться и тем, что в аналоговых фильтрах, исторически предшествовавших цифровым фильтрам, теоретическая база анализа и синтеза каскадных

Стандартные блоки рекурсивных фильтров обычно реализуются биквадратными звеньями в канонической форме, которая имеет минимальное количество элементов задержки. Уравнения звена:

Функциональная схема реализации звена приведена на рис. 1.4.

Вторая форма реализации – по уравнению (1.5) в прямой форме, приведенная на рис. 1.5:

При определенных условиях прямая форма лучше канонической с точки зрения шумовых характеристик.

Рекурсивные фильтры являются фазосдвигающими фильтрами. Если требуется обеспечить нулевой фазовый сдвиг, то операция фильтрации производится дважды, в прямом и обратном направлении числовой последовательности массива данных, при этом амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтрации будет равна | H ( ω ) | 2 фильтра, что необходимо учитывать при конструировании фильтра.

Разработка рекурсивных цифровых фильтров

Синтез рекурсивных фильтров непосредственно в z-области возможен только для фильтров простого типа с ограниченным количеством полюсов и нулей (особых точек). В общем случае, процесс проектирования рекурсивного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильтрации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров большой справочный материал по аналоговым фильтрам. Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров.

Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.

Этапы разработки рекурсивных фильтров включают: 1. Задание частотной характеристики или передаточной функции фильтра. 2. Аппроксимация и расчет коэффициентов b ( n ) и a ( m ) передаточной функции фильтра ( 1.3 ) . Этот этап может выполняться четырьмя методами:

• • Метод размещения нулей и полюсов на комплексной z-плоскости.
  • Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.
  • Согласованное z-преобразование.
  • Билинейное z-преобразование.

  3. Выбор структуры реализации фильтра – параллельная или каскадная, блоками второго и/или первого порядка. 4. Программное или аппаратное обеспечение реализации фильтра.

  Метод размещения нулей и полюсов

  Метод размещения нулей и полюсов применяется при разработке простых фильтров с ограниченным количеством нулей и полюсов, если параметры фильтра не обязательно задавать точно. Амплитудная характеристики системы может быть оценена по выражениям при перемещении точки ω s по единичной окружности e − j ω s Δ t :

  В качестве иллюстрации метода выполним расчет фильтра со следующими параметрами:

  📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎