ГЛАВА 8. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение. Пусть и – два каких-либо множества. Соответствие, с помощью которого каждому элементу соответствует единственный элемент , называется функцией, заданной (определенной) на множестве со значениями в множестве . Символическое обозначение .

Эквивалентные названия: преобразование, отображение ( ), морфизм.

Определение. Подмножество ( ) называется множеством значений функции , если каждый элемент этого множества ставится в соответствие хотя бы одному элементу .

Пример 8.1. , (множества вещественных чисел), . Тогда область задания множества будет совпадать со всей вещественной числовой осью. .

Элемент называется независимой переменной или аргументом, а соответствующий ему элемент называют зависимой переменной или функцией. Если функцию рассматривать как отображение , то элемент называют образом элемента . Элемент же в этом случае называют прообразом элемента . Множество называется множеством задания (определения) функции , множество – множеством значений функции .

Возможны следующие четыре типа отображения:

1)Если , то это будет отображением на или сюръекция.

2)Если различным и соответствуют различные элементы , , то – это инъекция (взаимно однозначное отображение в ).

3)Если отображение является одновременно сюръекцией и инъекцией, то – это биекция (взаимно однозначное отображение на ).

4)Пусть и существует подмножество множества , тогда отображение называется сужением функции на множество , если для .

В определении функции подчеркивается, что каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Если это условие не выполняется, т.е. одному элементу может ставиться в соответствие несколько элементов, то такая функция называется многозначной.

Пример 8.2. – двузначная функция.

Определение. Функция , определённая на множестве значений функции и ставящая в соответствие каждому элементу его прообраз , называется обратной функцией к и обозначается: .

Определение. Сложной функцией называется функция, являющаяся наложением нескольких функций или, по-другому, суперпозицией функций:

Определение. Числовая функция – это функция, у которой область задания и множество значений являются числовыми множествами.

График функции – это множество точек , т.е. некоторая линия.

Способы задания функции:

1)Аналитический (задание функции в виде формул).

Примеры. 1) , 2)

§ 8.2. Элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

2) – степенная ( – вещественное число),

6) обратные тригонометрические .

Элементарными называются функции , которые содержат конечное число арифметических операций над основными элементарными функциями и конечное число композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.

Элементарные функции подразделяются на следующие классы:

1) Многочлены (полиномы) – функции вида

– старшая степень полинома.

2)Рациональные (функции, представляющие собой отношение двух полиномов):

При этом, если , то дробь называется неправильной, если – правильной.

Пример 8.4. – неправильная дробь,

Простейшими (элементарными) рациональными функциями называются следующие функции:

IV , при условии, что , т.е. многочлен

не имеет вещественных нулей.

В курсе алгебры доказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших при помощи метода неопределенных коэффициентов.

Пример 8 .5. ,

Пример 8.6. (сколько сомножителей, столько дробей)

В общем случае при

Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.

3) Иррациональные функции – функции, которые получаются с помощью суперпозиции рациональных функций, а также степенных функций с рациональными показателями и четырёх арифметических действий.

4) Трансцендентные функции – функции, которые не являются рациональными или иррациональными. Это тригонометрические, показательные, обратные тригонометрические, логарифмические, гиперболические функции.

5) Гиперболические функции:

– синус гиперболический, – косинус гиперболический,

– тангенс гиперболический, – котангенс гиперболический.

Гиперболические функции можно выразить через тригонометрические и наоборот.

§ 8.3. Предел функции

8.3. 1. Первое определение предела функции (определение по Гейне)

Определение. Число называется пределом функции , в точке , если для любой последовательности , , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к

Символическое обозначение или при .

Определение. Точка называется точкой прикосновения множества , если существует последовательность , предел которой

Все точки являются точками прикосновения множества . Могут существовать точки прикосновения, не принадлежащие множеству .

Пример 8.8. а) Множество – множество точек интервала . Точками прикосновения в данном случае будут точки .

б) – множество точек и , для которых .

Точками прикосновения множества будут точки

Из определения точки прикосновения следует, что точка будет точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда любая окрестность этой точки пересекается с множеством .

Понятие предела функции в точке очевидно имеет смысл тогда и только тогда, когда точка является точкой прикосновения множества (области определения функции). Поэтому будем предполагать, специально не оговаривая, что точка является точкой прикосновения множества .

Пример8.9. Найдите предел функции

Решение. Строим любую последовательность , сходящуюся к нулю. Тогда

Пример8.10. Найдите предел функции в точке , если

Решение. Для

Для . Следовательно, функция в точке предела не имеет.

Определение. Пусть задана функция , , тогда

называется пределом сужения функции.

Очевидно для всякой функции, имеющей предел, существуют и пределы сужения функции. Обратное в общем случае неверно. Так в примере 8.10 предел функции по сужению равен , а по сужению – , хотя в этой точке предел функции не существует.

Пример 8.11. Существует ли предел в точке функции называемой – функцией Хевисайда (единичной функцией).

Решение. Пределы по сужению

как видим, различны. Поэтому предел функции Хевисайда в точке не существует.

Определение. Проколотой окрестностью точки называется всякая окрестность этой точки, из которой исключена точка .

Зачастую рассматривается предел функции не по всему множеству , а по пересечению его с выколотой окрестностью .

Пример 8.12. Функция Дирихле т.е. функция, равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных точках, не имеет предела ни в одной точке, так как , .

Предел по сужению

Предел по сужению – не существует.

Предел по сужению .

8.3. 2. Второе определение предела функции (определение по Коши)

Определение. Число называется пределом функции , в точке , если для любого существует такое , что при выполняется условие . Символическое обозначение

Данные два определения эквивалентны, так как условие эквивалентно условию , а условие эквивалентно условию .

Определение можно представить в виде окрестности точки .

§ 8.4. Односторонние пределы

Пусть – область определения или задания функции . Введём обозначения

Очевидно, что , .Тогда предел

называется пределом функции справа.

называется пределом функции слева. Пределы справа и слева являются односторонними пределами функции .

Замечание. Если односторонние пределы функции рассматриваются на множестве с выколотой точкой , т.е. на сужении множества , то применяются следующие обозначения:

– предел функции справа,

– предел функции слева.

В том случае, когда запишем:

– предел функции справа,

– предел функции слева.

Если , то существует только предел функции слева

Односторонние пределы на множестве равны

Односторонние пределы на множестве не существуют.

В символической форме

Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют односторонние пределы функции. При этом .

Необходимость. , тогда существуют пределы по любому сужению, тоже равные . Следовательно, .

Достаточность. Существуют односторонние пределы

Тогда для существует такое , что при выполняется условие (или )

и существует такое , что при выполняется условие

(или ). Выберем . Тогда

при будут одновременно выполняться условия

т.е. условия или , откуда следует, что .

§ 8.5. Свойства предела функции

Свойства аналогичны свойствам предела последовательности :

Теорема. Если имеет в точке предел, то существует некоторая окрестность , в которой функция ограничена.

Согласно одному из определений предела функций

при , то при существует , что при .

. При – это и означает ограниченность функции.

§ 5.6. Предел монотонной функций

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей), если для , выполняется условие .

Пусть – множество значений , тогда , .

Теорема. Пусть функция монотонно возрастает (убывает) на интервале , тогда в точках и существуют соответствующие односторонние пределы, при этом предел справа в точке равен нижней грани.

, –для монотонно возрастающей.

, – для монотонно убывающей.

Пусть монотонно возрастает на интервале и ,

тогда для существует такое , что .

Положим , . Выберем точку , следовательно, . и ,следовательно,

Аналогично доказывается, что

§ 8.7. Критерий Коши существования предела функции

Теорема. Необходимым и достаточным условием существования предела в точке является условие:

(Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда для существует такая окрестность точки , что для выполняется условие ).

Необходимость. В точке существует предел .

Из определения предела функции в точке следует, что в этом случае для существует окрестность , такая что для выполняется условие ,

для любых точек. Поэтому выбираем две точки , принадлежащие этой окрестности.

Достаточность. Предположим, что выполняется условие:

, где и – некоторые числа, удовлетворяющие условию: , . выбирается из заданного .

, а т.к. , то, следовательно,

– условие Коши существования предела для последовательности .

Значит, предел последовательности существует, а

§ 8.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке , если предел функции в этой точке равен нулю. Будем обозначать: …

Определение. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа можно указать такаю окрестность в точке , что .

Окрестность , если , если .

Если при , то, следовательно, .

Одна и та же функция в одних точках может быть бесконечно малой, а в других бесконечно большой.

Очевидно в точке , , а .

Основные свойства бесконечно малых функций (аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей).

1°. Если , то .

2°. Если и , то при .

3°. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

4°. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

, если – ограниченная, при .

5°. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Это свойство можно распространить на конечное число бесконечно малых функций.

Доказательства аналогичны доказательствам свойств бесконечно малых последовательностей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎