Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
Попробуем ответить на вопрос: Когда прямая перпендикулярна плоскости. Для этого рассмотрим модель параллелепипеда АВС D А1В1С1 D 1 в основании, которого лежит квадрат.
Например, попробуем найти прямую перпендикулярную плоскости АВС D . Рассмотрим прямую А1В.
Очевидно, что угол между прямой А1В и прямой АВ острый, а вот прямая ВС и прямая А1В перпендикулярны, как стороны диагонального сечения А1ВС D 1 . Заметим, что прямые АВ и ВС пересекаются.
Рассмотрим прямую С1С . Прямая С1С перпендикулярна прямой ВС.
Одновременно прямая С1С перпендикулярна и прямой D С лежащей в плоскости А1ВС D 1 . Заметим так же, что прямые D С и ВС пересекаются.
Рассмотрим еще один вариант расположения прямых. Пусть диагонали основания пересекаются в точке О, и по свойству квадрата отрезок D О равен отрезку О B . Прямая С1О перпендикулярна прямой D В по свойству равнобедренного треугольника DC 1 В. Но С1О не перпендикулярна прямой АС.
Какой же из вариантов определяет прямую перпендикулярную плоскости.
В геометрии прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Таким образом прямая А1В не удовлетворяет условию, она не перпендикулярна прямой АВ, лежащей в плоскости АВС D .
Аналогично и с рисунком в). Прямая ОС1 не перпендикулярна прямой АС, лежащей в плоскости АВС D .
А рисунок б) демонстрирует перпендикулярность прямой и плоскости.
На письме перпендикулярность прямой С1С и плоскости АВС D так.
На экране изображение и текст:
Когда прямая перпендикулярна плоскости?
На экране обновляется изображение с анимацией плоскости и прямой.
Изображение обновляется с анимацией прямой и отметок углов.
На экране изображение с анимацией элементов
На экране текст :
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
На экране рисунок а) выделяется и исчезает.
На экране рисунок в) выделяется и исчезает.
На экране текст и изображение:
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
К изображению справа добавляется надпись
Помимо прямой С1С к плоскости АВС D в данном параллелепипеде перпендикулярны и рёбра А1А, D 1 D , В1В.
Это можно доказать аналогично ребру С1С. При этом они параллельны между собой.
На экране изображение
Связь прямых и плоскости сформулирована в двух важных теоремах. Докажем их.
Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Для доказательства рассмотрим две параллельные прямые a и b , и плоскость α . Прямая а перпендикулярна плоскости α по условию.
Докажем, что прямая b перпендикулярна плоскости α .
1)Для доказательства проведём в плоскости α произвольную прямую с .
2)Так как прямая а у нас перпендикулярна плоскости α , то по определению она перпендикулярна произвольной прямой с лежащей в этой плоскости.
3)По теореме, доказанной на предыдущем уроке, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой, т.е. прямые b и с перпендикулярны.
4)Аналогично можно доказать, что прямая b будет перпендикулярна любой другой прямой, лежащей в плоскости α.
Что доказывает перпендикулярность прямой b к любой прямой плоскости a , тогда по определению прямой перпендикулярной плоскости, прямая b перпендикулярна плоскости α .
На экране текст теоремы:
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
На экране изображение:
На экране изображение и текст постепенно обновляется, добавляется пункт 1):
На экране к решению добавляется пункт 2)
- проведем с, с ∈α.
На экране добавляется последняя часть текста пункт 3)
На экране обновляется изображение с анимацией произвольных прямых..
- проведем с, с ∈α.
К изображению и тексту добавляется пункт 4)
Для данного утверждения справедлива и обратная формулировка.
На экране текст:
Обратная теорема : Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Достаточно интересно посмотреть применение данных теорем для решения задач.
Дан параллелепипед АВС D А1В1С1 D 1 c углом ВА D равным 90 градусов.
1)У нас угол ВА D равен 90 градусов, значит АВС D – прямоугольник.
2,3)Таким образом прямая DC перпендикулярна прямой ВС, и прямая D С перпендикулярна прямой СС1, так как боковые грани прямоугольного параллелепипеда прямоугольники.
4)Так как прямая DC перпендикулярна прямым ВС и С1С плоскости В1ВСС1 , то по определению прямая D С перпендикулярна самой плоскости В1ВСС1.
5)Прямая перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости. В данном случае прямая DC перпендикулярная прямой В1С1.
На экране текст задачи:
Задача. Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А1В1С1 D 1 с ВА D =90°.
На экране изображение и текст.
Доказательство на экране добавляется пунктом 1):
- так как ВА D =90°, то АВС D -прямоугольник.
Доказательство на экране добавляется пунктом 2) , 3)
- DC ВС (по свойству прям-ка)
- DC С1С (по свойству прям-го парал-да)
Доказательство на экране добавляется пунктом 4)
Доказательство на экране добавляется пунктом 5)
Рассмотри ещё один пример применения терем к решению задач.
Нам дана плоскость α, отрезок АВ пересекает эту плоскость в точке О. Прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны к плоскости α, причём А1 и В1 лежат в плоскости. Известно, что АА1 4 см, а угол А1АО =60° и отрезок В1О относиться к отрезку А1О как 1 к 2.
1)Прямая А1В1 лежит в плоскости α, так как две точки прямой уже лежат в плоскости.
2)Прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны к плоскости α, тогда эти прямые перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости α, в частности прямой А1В1.
3)Тогда треугольники АА1О и ОВ1В прямоугольные.
4)В треугольнике угол АОА1 равен 30°, по свойству треугольника с таким углом катет АА1 равен половине гипотенузы, значит отрезок АО равен 8 см.
5)В треугольниках АА1О и ОВ1В угол АА1О равен углу ОВ1В, угол А1ОА равен углу ВОВ1 по свойству вертикальных углов, а стороны В1О и ОА1пропорциональны числам 1 и 2, значит треугольник АА1О подобен треугольнику ОВ1В по стороне и двум прилежащим к ней углам с коэффициентом подобия одна вторая.
6,7)Так как треугольники подобны, то ОВ относиться к стороне АО как 1 к 2. Получим, что сторона ОВ равна половине стороны АО и равна 4 см. А весь отрезок АВ состоящий из частей АО и ОВ равен 12 см.
На экране текст задачи:
Задача 2. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости α т пересекают её в точках А1 и В1 соответственно.