Дидактические материалы для подготовки к ОГЭ 9 класс, модуль "Алгебра. 2 часть"

1. Задание 23 № 153. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

2. Задание 23 № 314796. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком одну общую точку.

3. Задание 23 № 314799. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. Задание 23 № 314803. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

5. Задание 23 № 314804. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

6. Задание 23 № 338300. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет c графиком ровно одну общую точку.

7. Задание 23 № 340933. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

8. Задание 23 № 341420. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

9. Задание 23 № 341509. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Поэтому график заданной функции представляет собой гиперболу, с выколотой точкой (-0,5; -2). Прямая будет иметь с графиком одну общую точку, если пройдёт через выколотую точку. Тогда и уравнение прямой примет вид:

Упростим выражение для функции:

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой

Построим график функции (см. рисунок).

Заметим, что прямая проходит через начало координат и будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку только тогда, когда будет проходить через выколотую точку Подставим координаты этой точки в уравнение прямой и найдём коэффициент

Упростим выражение для функции:

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой

Построим график функции (см. рисунок).

Упростим выражение для функции:

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой

Построим график функции (см. рисунок).

Упростим выражение для функции:

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой

Построим график функции (см. рисунок).

График исходной функции сводится к графику функции с выколотой точкой

Этот график изображён на рисунке:

Прямая будет иметь с графиком одну общую точку, если пройдёт через выколотую точку. Тогда и уравнение прямой примет вид:

Преобразуем выражение: при условии, что x ≠−5. Построим график. Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при и

8. Задание 23 № 341420. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Преобразуем выражение при условии, что x ≠ −2. Построим график:

Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при m = 3 и

Преобразуем выражение: при условии, что

Прямая не имеет с графиком ни одной общей точки при и

Выбранный для просмотра документ Кусочно-непрерывные функции.docx

Кусочно-непрерывные функции

1. Задание 23 № 75. Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

2. Задание 23 № 311559. Постройте график функции и найдите все значение , при которых прямая имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

3. Задание 23 № 311565. Постройте график функции и найдите все значения , при которых прямая не имеет с графиком данной функции общих точек.

4. Задание 23 № 311583. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком три общие точки.

5. Задание 23 № 311610. Постройте график функции и найдите значения , при которых прямая имеет с ним ровно две общие точки.

6. Задание 23 № 311619. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

7. Задание 23 № 311662. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

8. Задание 23 № 311923. Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра a он имеет ровно две общие точки с прямой y = a .

9. Задание 23 № 314700. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.

10. Задание 23 № 314702. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

11. Задание 23 № 314758. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет иметь с графиком единственную общую точку.

12. Задание 23 № 314777. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.

13. Задание 23 № 316269. Постройте график функции и найдите все значения при которых прямая имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

14. Задание 23 № 316358. Постройте график функции и найдите все значения при которых он имеет ровно три общие точки с прямой

15. Задание 23 № 333024. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

16. Задание 23 № 338105. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

17. Задание 23 № 338160. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

18. Задание 23 № 338253. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

19. Задание 23 № 338314. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

20. Задание 23 № 338420. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.

21. Задание 23 № 338455. Постройте график функции Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

22. Задание 23 № 338465. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком одну или две общие точки.

23. Задание 23 № 340878. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

24. Задание 23 № 340904. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

25. Задание 23 № 341284. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

26. Задание 23 № 341342. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

График функции изображён на рисунке.

Прямая будет иметь с графиком единственную общую точку при

Найдем область определения функции:

Поскольку , получаем, что на области определения функция принимает вид .

График изображён на рисунке.

Прямая имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при .

Найдём область определения функции:

Значит, функция определена при .

Поскольку , получаем, что на области определения функция принимает вид . График изображён на рисунке. Прямая не имеет с графиком данной функции общих точек при .

Для построения искомого графика построим график функции на промежутке и график функции на промежутке . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты , точки пересечения с осями координат: . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты , точки пересечения с осями координат: . График данной функции изображен на рисунке. Прямая имеет с построенным графиком ровно три общие точки при и при .

Ответ: график функции изображён на рисунке; прямая имеет с графиком ровно три общие точки при и при .

Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает с прямой при , совпадает с прямой при и совпадает с прямой при .График изображен на рисунке.

Прямая имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при и .

6. Задание 23 № 311619. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

График функции состоит из двух лучей и отрезка. На рисунке видно, что график имеет ровно две общих точки с горизонтальными прямыми и .

Преобразуем выражение: при .

Построим ветвь гиперболы при и удалим точку . Затем построим вторую часть графика симметрично первой относительно оси ординат.

На рисунке видно, что прямая не имеет с построенным графиком общих точек, если она горизонтальна, либо проходит через одну из удаленных точек или . Этим случаям соответствуют значения и .

Построим график функции y = − x 2 − 4 x − 4 на промежутке (−∞; −1), график функции y = x на промежутке [−1; 1] и график функции y = 2 − x на промежутке (1; +∞).

Прямая y = a имеет с построенным графиком ровно две общие точки при a < −1 и при 0 < a < 1.

Ответ : a < −1, 0 < a < 1.

9. Задание 23 № 314700. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая будет иметь с графиком ровно три точки пересечения при принадлежащем множеству:

Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно три общие точки при и

11. Задание 23 № 314758. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет иметь с графиком единственную общую точку.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая будет иметь с графиком функции единственную точку пересечения при принадлежащем множеству [0; 1).

12. Задание 23 № 314777. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая будет иметь с графиком функции ровно три точки пересечения при принадлежащем множеству:

Раскрывая модули, получаем, что

График изображён на рисунке.

Прямая имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при

Построим график функции

Прямая имеет с построенным графиком ровно три общие точки при и

15. Задание 23 № 333024. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции при и график функции при .

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = 5 и m = 6.

Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно три общие точки при и

Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно две общие точки при и

Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно три общие точки при и

Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при и

Раскрывая модуль и упрощая, получим, что функцию можно представить следующим образом:

При этом на графике функции нужно выколоть точку поскольку при упрощении мы сокращали выражение стоящее в знаменателе.

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая не имеет с графиком функции ни одной общей точки при

График данной функции — это график параболы отрицательная часть которого отражена относительно оси Этот график изображён на рисунке:

Прямая, параллельная оси абсцисс задаётся формулой где — постоянная. Из графика видно, что прямая может иметь с графиком функции не более четырёх общих точек.

22. Задание 23 № 338465. Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком одну или две общие точки.

Изобразим график на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции одну или две общие точки при любом принадлежащем множеству

23. Задание 23 № 340878. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции y = x +1 при x < 1 и график функции y = x 2 − 4 x + 5 при x ≥ 1.

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы или через точку (1; 2). Получаем, что m =1 или m = 2.

24. Задание 23 № 340904. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции y = 2,5 x при x < 2 и график функции y = x 2 − 6 x + 13 при x ≥ 2.

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = 4 и при m = 5 .

Значение выражения неотрицательно при и а при и значение этого выражения отрицательно. Построим график функции при и и график функции при и Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = 1 и m = −1.

Преобразуем выражение при условии, что x ≠ 4. Построим график функции y = −0,5 x 2 при x < 0 и график функции y = 0,5 x 2 при 0 ≤ x < 4 и x > 4.

Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при m = 8.

Выбранный для просмотра документ Параболы.docx

1. Задание 23 № 49. Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

2. Задание 23 № 127. При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

3. Задание 23 № 179. При каких отрицательных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

4. Задание 23 № 311576. Известно, что парабола проходит через точку и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую .

5. Задание 23 № 314398. Парабола проходит через точки K (0; –5), L (3; 10), M ( –3; –2). Найдите координаты её вершины.

6. Задание 23 № 314407. При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

7. Задание 23 № 314424. При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

8. Задание 23 № 314458. При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

9. Задание 23 № 314459. При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

10. Задание 23 № 314685. Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

11. Задание 23 № 314794. При каком значении р прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении

12. Задание 23 № 314797. При каких положительных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

13. Задание 23 № 338207. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

14. Задание 23 № 338288. Постройте график функции И определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

15. Задание 23 № 338295. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

16. Задание 23 № 338408. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

17. Задание 23 № 340852. Найдите все значения k , при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = x 2 + 4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

18. Задание 23 № 341368. Постройте график функции y = 4| x + 2 − x 2 − 3 x − 2 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

19. Задание 23 № 341394. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

20. Задание 23 № 341535. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разложим числитель дроби на множители:

При и функция принимает вид:

её график — парабола c выколотыми точками и .

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты .

График функции изображён на рисунке.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: откуда Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: p = −4, координата точки: (−2;0).

Для того, чтобы прямая и парабола имели одну общую точку необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю. Дискриминант равен: Он обращается в ноль при или По условию необходимо отрицательное , таким образом, Построим графики функций:

Найдем точку пересечения параболы с прямой:

Ответ: При k = −2; Парабола пересекает прямую в точке

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат: . Парабола проходит через точку , поэтому , откуда . Уравнение параболы: . Абсциссы точек пересечения с прямой найдем из уравнения .

5. Задание 23 № 314398. Парабола проходит через точки K (0; –5), L (3; 10), M ( –3; –2). Найдите координаты её вершины.

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:

Найдём координаты вершины:

6. Задание 23 № 314407. При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси , если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:

Заметим, что первый множитель всегда больше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаквый знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Координату параболы также можно найти по формуле

7. Задание 23 № 314424. При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

Заметим, что первый множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.

Координату параболы также можно найти по формуле

8. Задание 23 № 314458. При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по одну сторону от оси , если координаты их вершин имеют одинаковые знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют одинаковый знак тогда и только тогда, когда их произведение положительно, составим и решим неравенство:

Заметим, что второй множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Координату параболы также можно найти по формуле

9. Задание 23 № 314459. При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

Заметим, что второй множитель всегда больше нуля, поэтому на него можно разделить.

Координату параболы также можно найти по формуле

Найдём абсциссы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

Координата находится оттуда же путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, во второе:

Теперь, зная можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

Найдём абсциссы точек пересечения:

Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

Координата находится путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

Найдём абсциссы точек пересечения:

По условию поэтому нам подходит значение

Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

Координата находится путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотыми точками и Построим график функции (см. рисунок).

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно две общие точки при принадлежащем промежутку

График функции сводится к графику параболы с выколотой точкой

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при и

График исходной функции сводится к графику параболы с выколотыми точками

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при равном

График исходной функции сводится к графику параболы с выколотой точкой Этот график изображён на рисунке:

Чтобы прямая имела с построенным графиком одну общую точку, нужно чтобы

или прямая была касательной к графику (и точка касания не равна 1),

или прямая пересекает график в точке и в какой-то второй точке.

Случай касания реализуется когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

При этом если , точка касания , а если , точка касания .

Для рассмотрения второго случая подставим в уравнение .

получим . При этом дискриминант этого уравнения будет больше нуля, значит еще одно решение точно есть.

Построим график функции y = x 2 + 4.

Прямая y = kx имеет с этим графиком ровно одну общую точку, если уравнение x 2 + 4 = kx имеет один корень. Дискриминант этого уравнения равен k 2 − 16 , и он должен быть равен нулю. Получаем, что k = −4 или k = 4.

Построим график функции y = − x 2 − 7 x − 10 при x < −2 и график функции y = − x 2 + x + 6 при x ≥ −2.

Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину первой параболы и пересекает вторую или если она проходит через точку (−2; 0). Получаем, что m = 0 и m = 2,25.

19. Задание 23 № 341394. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Построим график функции при x < −5 и график функции y = x 2 +8 x + 16 при x ≥ −5.

Прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки при m = 0 и при m ≥ 1.

Преобразуем выражение: при условии, что и Построим график:

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m < 4 и при 4 < m < 5.

Выбранный для просмотра документ Разные задачи.docx

Разные задачи

1. Задание 23 № 311246. Найдите все значения , при которых неравенство не имеет решений.

2. Задание 23 № 311547. Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается

3. Задание 23 № 311577. Найдите наименьшее значение выражения и значения и , при которых оно достигается.

4. Задание 23 № 311613. Первая прямая проходит через точки и . Вторая прямая проходит через точки и . Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

5. Задание 23 № 311655. Постройте график функции и определите, при каких значениях построенный график не будет иметь общих точек с прямой .

6. Задание 23 № 311967. Найдите наибольшее значение выражения если и связаны соотношением

7. Задание 23 № 314391. При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

8. Задание 23 № 338395. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

9. Задание 23 № 339866. Прямая y = 2 x + b касается окружности x 2 + y 2 = 5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

1. Задание 23 № 311246. Найдите все значения , при которых неравенство не имеет решений.

График функции — парабола, ветви которой направленны вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, если эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трёхчлена должен быть отрицателен.

Ответ: 1 < < 3; другая возможная форма ответа: .

2. Задание 23 № 311547. Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается

Сумма принимает наименьшее значение, равное 0, только в том случае, когда обе слагаемых одновременно равны 0. Получаем систему уравнений

3. Задание 23 № 311577. Найдите наименьшее значение выражения и значения и , при которых оно достигается.

При любых значениях и имеем . Значение, равное 0, достигается только в том случае, когда и равны нулю одновременно.Составим систему уравнений

Решив её, получим .Таким образом, наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при .Ответ: 0, при .

Уравнение прямой . Подставляя координаты первой пары точек, получаем систему:

Значит, уравнение первой прямой .Аналогично найдем уравнение второй прямой:

Уравнение второй прямой .Чтобы найти координаты общей точки, решим систему:

Преобразуем функцию: при и . График — прямая без двух точек и (9; \ 6). Прямая не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при , и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если , а через вторую — если .

6. Задание 23 № 311967. Найдите наибольшее значение выражения если и связаны соотношением

С учётом дополнительного условия выражение принимает вид

Полученное выражение не превосходит 4 и достигает наибольшего значения 4 при

7. Задание 23 № 314391. При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по одну сторону от оси , если координаты их вершин одновременно больше или меньше нуля. Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему:

Второе уравнение данной системы не имеет решений, левая часть меньше нуля при любых значениях Следовательно и вся система не имеет решений.

Решим вторую систему, преобразования в ней аналогичны первой, поэтому можем сразу записать:

В этой системе второе неравенство, напротив, верно при любых . Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

Произведение меньше нуля в том случае, когда сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, решение второй системы неравенств:

Координату параболы можно найти по формуле

Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции

- ровно две общие точки при и ;

- три общие точки при

- ровно одну общую точку при и .

Прямая касается окружности, если система уравнений

имеет только одно решение. Подставляя выражение для из первого уравнения во второе, получим:

Данное квадратное уравнение должно иметь единственное решение, поэтому дискриминант должен быт равен нулю:

Найдём координаты точки касасния. При второе уравнение системы принимает вид:

Точка касания имеет отрицательную абсциссу, поэтому корень не подходит по условию задачи.

При второе уравнение системы принимает вид:

Подставляя и в первое уравнение системы, получаем Координаты точки касания (2; −1).

Выбранный для просмотра документ Движение по прямой.docx

Движение по прямой

1. Задание 22 № 126. Из пунктов А и В , расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А . Найдите скорость пешехода, шедшего из А , если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В , и сделал в пути получасовую остановку.

2. Задание 22 № 178. Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В . Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А .

3. Задание 22 № 311558. Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

4. Задание 22 № 311570. Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

5. Задание 22 № 311600. Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

6. Задание 22 № 311601. Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

7. Задание 22 № 311615. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?

8. Задание 22 № 314507. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.

9. Задание 22 № 314559. Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 27 км, вышел турист. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел пешеход и встретил туриста в 12 км от А . Найдите скорость туриста, если известно, что она была на 2 км/ч меньше скорости пешехода.

10. Задание 22 № 314593. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта В.

11. Задание 22 № 314605. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.

12. Задание 22 № 333023. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

13. Задание 22 № 333102. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

14. Задание 22 № 333319. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго — 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

15. Задание 22 № 338510. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

16. Задание 22 № 338552. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.

17. Задание 22 № 338561. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

18. Задание 22 № 338584. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

19. Задание 22 № 338603. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

20. Задание 22 № 338867. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

21. Задание 22 № 338904. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

22. Задание 22 № 338919. Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

23. Задание 22 № 338945. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

24. Задание 22 № 338961. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

25. Задание 22 № 338972. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

26. Задание 22 № 338992. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

27. Задание 22 № 338995. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

28. Задание 22 № 339049. Дорога между пунктами A и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 14 км. Турист прошёл путь из А в В за 4 часа, из которых спуск занял 2 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч?

29. Задание 22 № 339056. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

30. Задание 22 № 341283. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

31. Задание 22 № 341288. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 44 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 4 км/ч, за 81 секунду. Найдите длину поезда в метрах.

32. Задание 22 № 341393. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.

Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A , равна км/ч. Тогда скорость пешехода, шедшего из пункта B , равна км/ч. Время движения пешехода из пункта A до места встречи ч на полчаса меньше, чем время движения другого пешехода ч. Составим уравнение: . После преобразования оно примет вид: Корни уравнения 6 и −3. Значит, скорость пешехода, шедшего из А, равна 6 км/ч.

Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A , равна км/ч. Тогда скорость туриста равна км/ч. Время движения пешехода до места встречи ч на полчаса больше, чем время движения туриста ч. Составим уравнение: . После преобразования оно примет вид: Корни уравнения 5 и −4. Значит, скорость пешехода равна 5 км/ч.

Обозначим скорость ( в км/ч) автомобиля за , а время (в часах), за которое мотоцикл проезжает от А до С за . Тогда имеем , откуда . Поскольку весь путь от А до В автомобиль преодолел за время , получаем:

откуда . Значит, расстояние от А до С равно (км).

Обозначим искомую скорость (в км/ч) за . Плот прошёл 34 км, значит, он плыл 17 часов, а яхта 16 часов. Таким образом, имеем:

За первые три часа пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 150 километров и расстояние от него до города. В стало равным 600 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 120 км/ч, значит, они встретятся через 5 часов после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 8 часов, и проехал за это время 400 километров.

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время 220 километров.

Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.

Пусть скорость пешехода — x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна (x + 11) км/ч. Пешеход прошёл свою часть пути за , а велосипедист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −22 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 5 км/ч.

Пусть скорость туриста — x км/ч, тогда скорость пешехода равна (x + 2) км/ч. Пешеход прибудет к месту встречи через , если отсчитывать время от момента начала движения туриста. А турист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −12 не подходит нам по условию задачи. Скорость туриста равна 4 км/ч.

Пусть скорость пешехода — x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна ( x + 8) км/ч. Пешеход прошёл свою часть пути за , а велосипедист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −40 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 4 км/ч, следовательно, скорость велосипедиста 12 км/ч.

Пусть длина поезда l м . Скорость поезда относительно пешеход равна 63-3=60 км/ч, или м/с. Следовательно, поезд проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за l : секунд.

Составим и решим уравнение:

Длина поезда составляет 950 м.

Пусть длина поезда l м. Скорость поезда относительно пешехода равна км/ч, или м/c. Следовательно, поезд проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за l : секунд.

Составим и решим уравнение: ; . Длина поезда составляет 650 м.

За то время, пока первый велосипедист делал остановку, второй велосипедист проехал . Всё остальное время они одновременно находились в пути, значит, второй велосипедист за это время проехал Таким образом, суммарно он проехал 84 км.

Пусть скорость второго велосипедиста равна тогда скорость первого велосипедиста равна Время движения второго велосипедиста на 3 часа больше времени движения первого Составим уравнение и решим его:

По условию задачи нам подходят только положительные корни, поэтому скорость второго велосипедиста равна

Пусть скорость третьего велосипедиста равна v км/ч, а t ч— момент времени, когда он догнал второго велосипедиста. Начало отсчёта времени — момент, когда первый велосипедист начал движение. Тогда к моменту времени t , когда третий велосипедист догонит второго, второй велосипедист проедет расстояние км, а третий — расстояние км. Аналогично: к моменту времени когда третий велосипедист догонит первого, первый велосипедист проедет км, а третий, поскольку он был в пути на два часа меньше, проедет км. Составим систему уравнений:

Умножим первое уравнение на а второе — на и вычтем первое уравнение из второго:

По условию задачи подходит только положительный корень, то есть Подставляя t во второе уравнение, найдём искомую скорость:

Пусть — расстояние между A и В , км/ч — скорость первого автомобилиста, тогда км/ч — скорость второго автомобилиста на первой половине пути,. Первый автомобилист проделал весь путь за часов, а второй за часов. Время, за которое они проехали весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно составить уравнение:

По условию задачи скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, следовательно, скорость первого автомобилиста равна 44 км/ч.

Пусть — скорость мотоциклиста, — скорость велосипедиста. Пример расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 40 минут раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:

Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна 1, а время, затраченное на весь путь равно одному часу.

Средняя скорость, это отношение пройденного пути ко времени, за который пройден этот путь. За первые 5 часов автомобиль проехал 5 · 60 = 300 км, за следующие три часа — 3 · 100 = 300 км и за последние 4 часа — 4 · 75 = 300 км. Весь путь составил 300 + 300 + 300 = 900 км, а суммарное время движения — 5 + 3 + 4 = 12 часов, откуда средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути 900/12 = 75 км/ч.

Пусть км — расстояние, которое проехал первый велосипедист до места встречи, тогда км — расстояние, которое проехал второй велосипедист до места встречи. К моменту встречи первый велосипедист находился в пути часов, а второй — часов. Эти величины равны, составим уравнение:

Таким образом, второй велосипедист проехал 82 − 56 = 26 км до места встречи.

Пусть км/ч — скорость первого бегуна, тогда км/ч — скорость второго бегуна. Из условия известно, что второй бегун пробежал круг за часа, при этом через час после старта первому бегуну оставался 1 км до окончания первого круга, составим уравнение:

Таким образом, скорость первого бегуна равна 13 км/ч.

Средняя скорость — это расстояние, разделённое на время движения. Первый отрезок пути автомобиль проехал за 300/6 = 5 часов, второй — за 300/100 = 3 часа, третий — за 300/75 = 4 часа. Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составила

Пусть — соответственно скорости автомобилиста и мотоциклиста, — расстояние соответственно между пунктами и и между пунктами и — время за которое мотоциклист догонит автомобилиста, — время, за которое автомобилист доедет из пункта C и пункт B — время, через которое мотоциклист выезжает за автомобилем. Автомобилист доедет до пункта за время значит, он проедет расстояние До пункта B он доберётся за время Мотоциклист преодолеет расстояние a за время а половину расстояния от А до С за время Получаем систему уравнений:

Из первого и четвёртого уравнений: Из первого уравнения: Из третьего уравнения: Подставляя полученные соотношения во второе уравнение, получаем:

По условию задачи подходит только положительный корень, следовательно, расстояние между пунктами A и С равно 100 км.

Средняя скорость — это отношение пройденного пути к времени движения. Пусть весь путь составляет км, тогда первую половину пути автомобиль проехал за часов, а вторую — за часов. Средняя скорость автомобиля равна:

Пусть км/ч — скорость первого автомобиля, тогда км/ч — скорость второго автомобиля. Первый автомобиль прибыл к финишу на 1 час быстрее второго, откуда:

Корень −60 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого автомобиля равна 80 км/ч.

Пусть км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, тогда км/ч — скорость велосипедиста из В в А. На путь туда и обратно велосипелист затратил одинаковое количество времени, при этом, сделав остановку на 3 часа по пути из В в А, откуда:

Корень −20 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 10 км/ч.

Пусть — скорость реки, тогда — скорость катера в стоячей воде, — расстояние от А до места встречи, — расстояние, которое пройдёт плот от места встречи до момента возвращения катера в В. Примем расстояние между А и В за единицу. К месту встречи плот и катер прибыли одновременно, откуда За то время, пока катер преодолеет расстояние плот преодолеет расстояние откуда Получаем систему уравнений:

Плот за всё время движения прошёл расстояние Поскольку всё расстояние между А и В мы приняли равным единице, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к моменту возвращения катера в пункт В.

Пусть скорость, с которой турист спускался, равна х км/час, тогда его скорость на подъёме равна х − 3 км/ч, длина спуска равна 2 х км, длина подъёма равна 2( х − 3) км. Поскольку весь путь равен 14 км, имеем: 2 х + 2( х − 3) = 14, откуда х = 5 км/ч.

Второй человек придёт на опушку через часа. За это время первый пройдёт км, следовательно, до опушки ему останется пройти 4 − 2,4 = 1,6 км. Теперь второй путник идёт навстречу первому и их встреча произойдёт через часа. За это время первый человек успеет пройти ещё км. Таким образом, он пройдёт от точки отправления 2,4 + 0,6 = 3 км.

Скорость сближения пешехода и поезда равна 86 − 6 = 80 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Скорость сближения пешехода и поезда равна 44 − 4 = 40 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Пусть скорость первого бегуна v км/ч, тогда скорость второго v + 6 км/ч, а длина круга равна Получаем уравнение:

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎