Об области сходимости обобщенного ряда экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»
Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида, где целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Дается описание наибольшей полной кратнокруговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Никитина О. Г.
In this paper is considered domain of absolute convergence for row as, where entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row.
Текст научной работы на тему «Об области сходимости обобщенного ряда экспонент»
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009
ОБ ОБЛАСТИ сходимости ОБОБЩЕННОГО РЯДА ЭКСПОНЕНТ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа e-mail: kazakov@spu-penza.ru
Никитина О. Г. - Об области сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского.
2009. № 13 (17). С. 24-27. - Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида X dkf ("knzj, Цkz2),
где f (tj, t2 ) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Дается описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда. Ключевые слова: обобщенный ряд экспонент, область сходимости.
Nikitina O. G. - About domain of convergence for generalized row of exponent // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i. V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 24-27. -In this paper is considered domain of absolute convergence for row
as X dn^f (-nZj, V-nz2), where f (j, 12 )- entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is
described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row. Keywords: generalized row of exponent, domain of convergence.
Пусть (Xn ), (цп ) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию
f (t 1, ¿2 )= X akjk2¿f1 t22 " целая функция экспоненцИального типа с отлИчнымИ от нуля коэффициентами.
Q = - ее гиперповерхность сопряженных типов. Если функция f(tj,¿2) дополнительно удовлетворяет условию: существует система сопряженных типов (aj,a2)е Q такая, что
ri+r2 a 1R1 + a 2 R2
где M f (R) = max f (t1, t2), то имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда
X dnn2 f (\ zl, Цп2 Z2 ) (3)
где Da - полная выпуклая кратно-круговая область, граница образа которой в абсолютном октанте Daa |) определяется при фиксированных (aj,a2)е Q соотношением
lim 1 1 1' z1' 2 2| 21 = 0. (4)
Доказательство. Пусть (Ri, R2 ) - какая-то система положительных чисел, определяемая соотношением (4) при некоторых (а1,а2)е Q. Покажем, что в полицилиндре E(R1'R2) = z2)| <R1,|z2| <R2 j- ряд (3) схо-
дится абсолютно. Пусть (zi,z2)e ^(R1 'R^)*- Положим v1 = ———, v2 = ———, v = min.
Для любого e > 0 из соотношения (4) имеем |d»» | < exp » + »2 > N (e)- С другой стороны, в силу определения сопряженных типов функции, для любого 8 > 0
при e + 8 < —, Г 1 2
где п1 + п2 > N(V ). Отсюда, в силу условия (1), следует, что ряд (3) в любом полицилиндре 2) сходится абсо
\ I kJ I JD J11W W WiVl Ии^ШЦИ^ШИДи^ '
лютно. То есть ряд (3) сходится абсолютно внутри области D.
(Ли < f z2 )|>> exP + 1) для любого е > О и ni + n2 > N(? ). Следо-
С другой стороны, так как (Ri,R2 )e d|D|, из соотношения (4) получим, что для любого е > 0 найдется последовательность наборов