Презентация по математике на тему "Решение текстовых задач"

Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности , изобретательности. Д .Пойа.

уметь строить и исследовать простейшие математические модели моделировать реальные ситуации на языке алгебры составлять уравнения или неравенства по условию задачи исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры

Задачи на движение Основные компоненты: пройденный путь s скорость v время t Задачи на движение по реке

Задача 1 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в автомобилист проезжает на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 30 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в километрах в час. Решение: Так как время затраченное велосипедистом на 2,5 ч больше, составляем уравнение Ответ: 15 cкорость,км/ч v время, ч tрасстояние, км s автомобилист х+25 60 велосипедист х , на 2,5 > 60

Задача 2 Из Пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью72 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решение: Так как время в пути одинаковое составляем уравнение Ответ: 48 скорость, км/чвремя, ч tрасстояние, км s 1 половина2 половина I авт. s II авт. 72 s

Задача 3 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 483 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 ч после отплытия из него. Ответ дайте в километрах в час. Решение: Так как на весь путь теплоход затратил 46 ч составляем уравнение Ответ: 1 Скорость, км/ч vВремя, ч tРасстояние, км s По течению 483 Против течения 483 стоянка 2 ч

Задача 4 Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 26 км/ч. Обратно он летел на самолёте со скоростью 312 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в километрах в час Решение: Так как средняя скорость вычисляется по формуле составляем уравнение Ответ: 48 скорость, км/ч vвремя, ч tрасстояние, км s яхта s самолёт 312 s

Задача 5 Из городов А и В навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 4 часа раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 1 час 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист? Решение: Так как мотоциклист приехал на 4 часа раньше Так как встретились они через 1 час 30 минут Ответ: 6 скорость, км/чвремя, чрасстояние, км мотоциклист х 1 велосипедист у 1

Задачи на работу

Задача 6 Заказ на 136 деталей первый рабочий выполняет на 9 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 9 деталей больше. Решение: Так как первый рабочий выполняет на 9 ч быстрее, составляем уравнение Ответ: 8 производительностьвремя выполнениязаказ I рабочий , на 9ч<136 II рабочий136

Задача 7 Первая труба пропускает на 1 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 110 л она заполняет на 1 мин быстрее, чем первая труба? Решение: Так как вторая труба заполняет на 1 мин быстрее, составляем уравнение Ответ: 11 Пропускная способность, л/минВремя, минОбъём резервуара, л I труба110 II труба , на 1 мин <110

Задача 8 Валя и Галя пропалывают грядку за 8 минут, а одна Галя – за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя? Решение: Так как вместе Галя и Валя пропалывают грядку за 8 минут, составляем уравнение: Ответ: 40 производительность рвремя tработа A Валя мин1 Галя10 мин1 общая8 мин1

Задача 9 Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь – за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая вместе. Решение: Найдём общее время Ответ: 16 Составим систему уравнений , учитывая, что Игорь и Паша – 18 ч, Паша и Володя – 24 ч, Володя и Игорь – 36 ч. производительность рвремя tработа A Игорь1 Паша1 Володя1 общая1

Задача 10 Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15ч.Через 5ч после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ? Так как работал сначала один, а потом совместно, составляем уравнение Решение: Ответ: 10 Производи- тельность время выполнениязаказ I рабочий 5 ч (отдельно) х ч (совместно)1 II рабочий х ч1

Задачи на сплавы (растворы) Основные компоненты: P – процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе m – масса чистого вещества M – масса сплава или раствора

Задача 11 Смешали 14 литров 30%-го водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Применив формулу Найдём х: Решение: Ответ: 25 Масса р-ра ММасса вещества m% содержание вещ-ва, P 1 раствор1430% 2 раствор1018% смесь 24 6х%

Задача 12 В сосуд, содержащий 5 л 12%-го водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Применив формулу Найдём х: Ответ: 5 Решение: Масса р-ра М, лМасса вещества m, л % содержание вещ-ва, P, % раствор50,612% вода7 смесь 120,6х%

Задача 13 Смешав70%-йи 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси? Решение: Составим первое уравнение (применив формулу) Добавляем в таблицу данные из условия задачи Составим второе уравнение (применив формулу) Масса р-ра ММасса вещества m% содержание вещ-ва, P 1 растворх0,7х70% 2 раствору0,6у60% смесь с водойх+у+20,7х+0,6у50% вода21,890% х+у+20,7х+0,6у+1,870%

Объединив оба условия получим систему уравнений Решая данную систему получим В ответе нужно записать, сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси, то есть х. Ответ: 3

Задача 14 Имеются два сосуда, содержащие 42кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? Решение: Составим первое уравнение Дополним таблицу, учитывая, что взяли равные массы растворов Составим второе уравнение Масса р-ра М, кгМасса вещества m, кг% содержание вещ-ва, P, % 1 раствор42 х 2 раствор6 у смесь 48 х+у40% 1 раствор6 2 раствор6у смесь 12+у50%

Объединив оба условия получим систему уравнений Решая данную систему получим В ответе нужно записать, сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе, то есть х. Ответ: 15,4

Задача 15 Имеются два сплава, первый содержит 5% никеля, второй – 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Решение: Составим систему уравнений Решая систему, находим х=75 и у=150, в ответ записываем на сколько масса первого сплава меньше массы второго. Ответ: 75 Масса р-ра М, кгМасса вещества m, кг% содержание вещ-ва, P 1 сплавх0,05х5% 2 сплаву 0,2у20% смесь 225 225 0,1515%

Задачи на проценты важное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем. полезные формулы: если величину увеличить на процентов, получим если величину уменьшить на процентов, получим

Задача 16 В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Пусть х руб. стоили акции, на у % акции подорожали в понедельник Решение: так как в результате акции стали стоить на 49 % дешевле (т.е.51%), составляем уравнение Ответ: 70 в понедельник во вторник Стоимость акций

Задача 17 Четыре рубашки дешевле куртки на 20 %. На сколько процентов шесть рубашек дороже куртки? Решение: Так как 4 рубашки на 20 % дешевле куртки 4х=0,8у х=0,2у то 6х=1,2у значит 6 рубашек дороже куртки на 20 % Ответ: 20 стоимость в руб. 1 рубашках 1 курткау

Задача 18 Виноград содержит 90 % влаги, а изюм — 5 % . Сколько килограммов винограда требуется для получения 98 кг изюма? Решение: Так как из винограда надо получить 98 кг изюма, составляем уравнение 0,1х=0,95 98 х=931 кг Ответ: 931 вода, %сухое вещество, % виноград9010Х кг изюм59598 кг

Задача 19 Брюки дороже рубашки на 30 % и дешевле пиджака на 22 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака? Решение: из уравнения 1,3z=0,78у найдём во сколько раз рубашка дешевле пиджака Найдём на сколько рубашка дешевле пиджака 100% - 60% = 40 % Ответ: 40 Стоимость, руб Брюкиx1,3z0,78у Пиджакy Рубашкаz

Задача 20 Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни? Так как 3 кг черешни стоят столько же, сколько 5 кг вишни, то 3х=5у Так как 3 кг вишни стоят столько же, сколько 2 кг клубники, то 3у=2z найдём во сколько раз клубника дешевле черешни Решение: Найдём на сколько килограмм клубники дешевле килограмма черешни 100% - 90% = 10 % Ответ: 10 Стоимость 1 кг, руб черешнях вишняy клубникаz

Задача 21 Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Решение: Составим систему уравнений Решая систему найдём у=0,36 Таким образом зарплата жены составляет 36% Ответ: 36 1 случай 2 случай мужx2xx женаyуy дочьz z 0,5z общий доход11,60,98

Решение всех задач, даже на первый взгляд «устных», сопровождается записями на доске и обязательно (!) в ученических тетрадях. Непременным условием успешности обучения является систематичность, регулярность решения задач и адекватность их уровня сложности возможностям учеников. По мере изучения можно давать задания в виде таблицы: в одном столбце записывается словесная модель, а в другом алгебраическая модель условия задачи. Получив такую заготовку ученик экономит время. С целью экономии времени целесообразнее составить более широкий набор вопросов к одному сюжету, нежели решать несколько задач с одним, двумя вопросами к каждой. Построив решаемую модель и преобразовав её, ученик должен обязательно вернуться к условию задачи. Необходимо сопоставить результат с исходными данными, с ограничениями величин.