Левоинвариантные меры на топологических и-арных подполугруппах бинарных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Свертки мер и функций, преобразование Фурье мер на локально компактных абелевых n-арных группах были введены в работе [1]. Развитие гармонического анализа на n-арных алгебраических объектах, наделенных топологией, тесно связано с существованием на подобных объектах ненулевой инвариантной меры. Инвариантные меры на топологических n-арных полугруппах рассматривались в [2] и [3]. В теореме 2 данной работы установлены необходимые и достаточные условия существования левоинвариантной меры на топологических n-арных подполугруппах бинарных групп. Ее можно рассматривать, как распространение результатов работы [4] на случай топологических n-арных полугрупп . Теорема 1 устанавливает результат представляющий интерес для топологической алгебры.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сергеева Дина Владимировна

Left-invariant measures on topological n-ary subsemigroup of binary groups

Convolutions of measures and functions, as well as the Fourier transform of measures on locally compact Abelian n-ary groups were introduced in [1]. Development of harmonic analysis on n-ary algebraic objects endowed with a topology is closely related to the existence of a non-zero invariant measure on such objects. Invariant measures on topological n-ary semigroups were considered in [2] and [3]. In Theorem 2 of this paper, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of a left-invariant measure on topological n-ary subsemigroups of binary groups. It can be treated as an extension of the results of [4] to the case of n-ary topological semigroups. The result established in Theorem 1 establishes is interesting for topological algebra.

Текст научной работы на тему «Левоинвариантные меры на топологических и-арных подполугруппах бинарных групп»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ и-АРНЫХ ПОДПОЛУГРУППАХ БИНАРНЫХ ГРУПП

Свертки мер и функций, преобразование Фурье мер на локально компактных абелевых и-арных группах были введены в работе [1]. Развитие гармонического анализа на и-арных алгебраических объектах, наделенных топологией, тесно связано с существованием на подобных объектах ненулевой инвариантной меры. Инвариантные меры на топологических и-арных полугруппах рассматривались в [2] и [3]. В теореме 2 данной работы установлены необходимые и достаточные условия существования левоинвариантной меры на топологических и-арных подполугруппах бинарных групп. Ее можно рассматривать, как распространение результатов работы [4] на случай топологических и-арных полугрупп. Теорема 1 устанавливает результат представляющий интерес для топологической алгебры.

Ключевые слова: левоинвариантная мера, топологическая и-арная полугруппа, идеал и-арной полугруппы.

1. Терминология и обозначения

Терминология и обозначения, относящиеся к и-арным алгебраическим системам, в основном, соответствуют монографии [5]. Последовательность aj. ak,Cj. cn элементов множества X обозначаем akc^. Отображение [ ]: Хи ^ X называют и-арной операцией на X. Данная операция ассоциативна, если для любой последовательности xt2и-1 е X2и-1 имеют место следующие равенства:

Непустое множество X с ассоциативной и-арной операцией называют и-арной полугруппой. и-Арную полугруппу будем обозначать (X; [ ]> или одной буквой X. и-Арную полугруппу (X, [ ]) называют и-арной группой, если каждое из уравнений

[ ха1и-1J = а и [ а1и-1x ] = a

разрешимо для любой последовательности a1'! la е Xn . При и = 2 и-арную группу будем называть бинарной группой.

Непустое множество I с X называют идеалом и-арной полугруппы (X; []>, если [ x/xx^-J Je I для любых х1и-1 е Xn-, любого x е I и любого

j = 0,1. и -1. Если же [ x^’^x ]е I для любых xf-1 е Xn- и любого x е I, то I называют левым идеалом и-арной полугруппы (X;[ ]).

Левоинвариантные меры на топологических n-арных подполугруппах бинарных групп 51

Пусть K с X , x1n 1 е Xn 1. Множество < [xn 1k J | k е K>обозначаем

lK J . Отображение x ^ [ xj xx”-1 ] (x e X) называют трансляцией n-арной полугруппы (X; [ ]) . При i = n -1 трансляцию будем называть левой трансляцией, а при i = 0 правой трансляцией.

n-Арная полугруппа (X;[ ]), наделенная топологией т, называется топологической полугруппой, если n-арная операция непрерывна по совокупности аргументов. Топологическую n-арную полугруппу будем обозначать парой (X, т).

Ниже, не оговаривая особо, предполагаем, что все рассматриваемые топологии хаусдорфовы. Идеал I с X называем идеалом с открытыми трансляциями на элементы X, если для любого U с I, U ет и любой трансляции X множество X ( U ) является открытым в (X, т).

Левоинвариантной мерой на топологической n-арной полугруппе (X, т ) называем счетно-аддитивную неотрицательную функцию р, определенную на наименьшем ст -кольце В (X) подмножеств X, содержащем семейство К (X) всех

компактных подмножеств X, конечную на каждом компактном множестве, такую, что р( B ) = sup для любого B еВ(X) и

р([ <-1B ]) = p(B) для любых О! 1 е Xn 1 и B еВ (X), таких, что множество

a1n-1B ] принадлежит В(X). Элементы ст -кольца В(X) называют борелев-

скими подмножествами топологического пространства ( X, т ) .

2. Основные результаты

Далее всюду (О,•) - бинарная группа, n е N и n > 2, X - система образующих для О, такая, что a1 • a2 •. • an е X для любой последовательности a1n е Xn . Формула [a1n J = a1 • a2 •. • an (an е Xn) определяет n-арную операцию [ ] на X и алгебра (X; [ ]) является n-арной полугруппой. Ее будем называть n-арной подполугруппой группы (О,•>.

Пример 1. Группа О - множество целых чисел относительно операции сложения, X - множество всех нечетных положительных чисел, n = 3 . Тогда X -система образующих для О , для любых x1 , x2 , x3 из X их сумма принадлежит

X. Следовательно, X с тернарной операцией сложения трех чисел является тернарной подполугруппой О .

Теорема 1. Пусть (X;[ ]) - n-арная подполугруппа бинарной группы О, тО - топология на О, такая, что ( О, тО ) является топологической группой, т - топология на X, причем (X, т) является топологической n-арной полугруппой. Пусть каждое U етО, U с X является открытым подмножеством (X, т) и существует непустое множество V с X, удовлетворяющее следующему условию:

(i) V етО пт и сужение топологий тО и т на V совпадают.

Тогда существует наибольшее (по включению) множество I среди подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). I будет идеалом (X;[ ]), обладающим

открытыми трансляциями на элементы X.

Доказательство. Пусть - семейство всех подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). Покажем, что множество I = U< V | V е< V>> также удовлетворяет условию (i). Имеем I с X и I етG пт . Пусть U с I и U етG. Тогда по предположению теоремы U ет . Если же U ет ,то U = U< V п U | V е< V>>. Имеем V п U ет. Отсюда следует, что U е tg . Таким образом, множество I удовлетворяет условию (i), т.е. I е < V>и, по построению, является наибольшим подмножеством (по включению) семейства V .

Покажем, что I является идеалом X. Пусть хЩ 1 е Xn 1. Имеем:

[ xjIхп+JJ = х1 •. • Xj • I• x• j+1 • xn1 с X и является открытым подмножеством

(G, TG ). Следовательно, [ x[IхЩ+J J етG пт. Пусть U с [х/I хЩ+J J и U ет . Тогда множество W = х— •. • х-1 • U• х-— •.• xjj1 = X-1 (U)ет, так как трансляция X (х) = [ xи ( 6; + да), топология т является сужением топологии тG на X. Тогда (X, т) - топологическая n-арная полугруппа. Очевидно, что если U етG и U с X , то U с( 6, + да) и, следовательно, U ет . В качестве множества V возьмем непустое открытое в тG подмножество (6, + да). Тогда условие (i) теоремы 1 будет выполнено. Очевидно, что множество I = ( 6, + да) будет открытым идеалом ( X, т ) , обладающим открытыми трансляциями на элементы X , и будет являться наибольшим по включению среди подмножеств X, удовлетворяющих условию (i).

Левоинвариантные меры на топологических n-арных подполугруппах бинарных групп 53

Теорема 2. Пусть на (X;[ ]) задана хаусдорфова топология т, такая, что (X, т) является топологической n-арной полугруппой. Тогда следующие условия равносильны:

(а) на (X, т) существует ненулевая левоинвариантная мера ц, такая, что для любой последовательности xf-1 е Xn-1 существует компактное множество K, такое, что ц( [ Kxf-1 J ) > 0 ;

(б) (X, т) обладает открытым локально компактным идеалом I с открытыми трансляциями;

(в) на (G, •) существует локально компактная топология те, такая, что ( G, тG ) является топологической группой, сужение топологии те на X слабее топологии т , ( X, т ) обладает открытым идеалом I , причем, сужение топологий т и тс на I совпадают.

Доказательство. Пусть выполнено условие (а) теоремы и ц - ненулевая левоинвариантная на (X, т) мера. Пусть cf

2 е Xn-2 и a = a1 • a2 •. • an 2 е G . На группе (G; •) зададим бинарную операцию * следующим образом:

x * y = xa1n-2y (x, у е G). Легко проверяется, что (G; *) является бинарной группой, а (X; *> - устойчивым подмножеством (G; *), a-1 является нейтральным элементом (G; *) и a-1 • x_1 • a_1 является элементом, обратным для x. Очевидно, что x * у = |^ xa1n-2у ] для любых x, у из X и что бинарная операция * в