Большая перемена. Э.Н. Балаян. Лучшие задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ классы. Ростов-на-Дону. еникс

2 УДК :51 ББК 22.1я72 КТК 444 Б20 Б20 Балаян Э.Н. Геометрия : лучшие задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ : 7 11 классы / Э.Н. Балаян. Рос тов н/д : Феникс, с. : ил. (Большая перемена). ISN Предлагаемая вниманию читателя книга содержит более 1000 разноуровневых задач по основным темам программы геометрии 7 11 классов на готовых чертежах. Задачи 7 9 классов скомпонованы в 3 комплекта, содержащих 49 таблиц, а классы 80 таблиц. Эти задачи дают возможность учителю в течение минимума времени решить и повторить значительно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках. Кроме того, предлагаемые задачи не только помогут учащимся углубить свои знания, проверить и закрепить практические навыки при систематическом изучении курса геометрии, но и представляют хорошую возможность для самостоятельной эффективной подготовки к успешной сдаче ГИА и ЕГЭ. Для удобства пользования книгой приводятся подробные решения к наиболее трудным задачам, а также краткие теоретические сведения, сопровождаемые определениями, рисунками и необходимыми справочными материалами. Ко всем задачам даны ответы. Пособие является прекрасным дополнением к существующим учебникам геометрии, адресовано прежде всего учащимся общеобразовательных школ, лицеев, колледжей, учителям математики, студентам будущим учителям, а также репетиторам. УДК :51 ISN ББК 22.1я72 Балаян Э.Н., 2013 Оформление, ООО «Феникс», 2013

3 ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Предисловие. 8 ПЛАНИМЕТРИЯ Раздел I. Краткие теоретические сведения. 10 Раздел II. Задачи в таблицах. 33 VII класс Таблица 1. Смежные углы Таблица 2. Вертикальные углы Таблица 3. Признаки равенства треугольников Таблица 4. Периметр равнобедренного треугольника Таблица 5. Свойства равнобедренного треугольника Таблица 6. Признаки параллельности прямых Таблица 7. Свойства углов при параллельных прямых Таблица 8. Углы треугольника Таблица 9. Углы треугольника Таблица 10. Некоторые свойства прямоугольных треугольников Таблица 11. Признаки равенства прямоугольных треугольников Таблица 12. Расстояние от точки до прямой VIII класс Таблица 1. Определение и признаки параллелограмма Таблица 2. Свойства параллелограмма Таблица 3. Свойства параллелограмма Таблица 4. Параллелограмм Таблица 5. Параллелограмм Таблица 6. Трапеция Таблица 7. Трапеция Таблица 8. Площадь прямоугольника Таблица 9. Площадь параллелограмма Таблица 10. Площадь треугольника Таблица 11. Площадь трапеции Таблица 12. Теорема Пифагора Таблица 13. Определение подобных треугольников Таблица 14. Признаки подобия треугольников. 77

4 4 Ãåîìåòðèÿ. Ëó øèå çàäà è íà ãîòîâûõ åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ Таблица 15. Признаки подобия треугольников Таблица 16. Средняя линия треугольника Таблица 17. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Таблица 18. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике Таблица 19. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике Таблица 20. Касательная к окружности Таблица 21. Центральные и вписанные углы Таблица 22. Четыре замечательные точки треугольника Таблица 23. Вписанная и описанная окружности Таблица 24. Векторы Таблица 25. Средняя линия трапеции IX класс Таблица 1. Координаты вектора Таблица 2. Простейшие задачи в координатах Таблица 3. Применение метода координат к решению задач Таблица 4. Уравнение окружности Таблица 5. Уравнение прямой Таблица 6. Решение треугольников. Площадь треугольника Таблица 7. Решение треугольников. Теорема синусов Таблица 8. Решение треугольников. Теорема косинусов Таблица 9. Скалярное произведение векторов Таблица 10. Длина окружности. Длина дуги Таблица 11. Площадь круга Таблица 12. Площадь круга СТЕРЕОМЕТРИЯ Раздел III. Краткие теоретические сведения по курсу стереометрии X XI классов Раздел IV. Задачи в таблицах X XI классы 1. Угол между двумя прямыми Таблица 1. Куб Таблица 2. Правильная треугольная призма Таблица 3. Правильная шестиугольная призма Таблица 4. Правильный тетраэдр Таблица 5. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 6. Правильная шестиугольная пирамида

5 Ñîäåðæàíèå 5 2. Угол между прямой и плоскостью Таблица 7. Куб Таблица 8. Правильная треугольная призма Таблица 9. Правильная шестиугольная призма Таблица 10. Правильный тетраэдр Таблица 11. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 12. Правильная шестиугольная пирамида Угол между двумя плоскостями Таблица 13. Куб Таблица 14. Правильная треугольная призма Таблица 15. Правильная шестиугольная призма Таблица 16. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 17. Правильная шестиугольная пирамида Расстояние от точки до прямой Таблица 18. Куб Таблица 19. Правильная треугольная призма Таблица 20. Правильная шестиугольная призма Таблица 21. Правильная шестиугольная пирамида Расстояние от точки до плоскости Таблица 22. Куб Таблица 23. Правильная треугольная призма Таблица 24. Правильная шестиугольная призма Таблица 25. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 26. Правильная шестиугольная пирамида Расстояние между двумя прямыми Таблица 27. Куб Таблица 28. Правильная треугольная призма Таблица 29. Правильная шестиугольная призма Таблица 30. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 31. Правильная шестиугольная пирамида Площади сечений многогранников Таблица 32. Куб Таблица 33. Прямоугольный параллелепипед Таблица 34. Правильная треугольная призма Таблица 35. Правильная шестиугольная призма Таблица 36. Правильный тетраэдр Таблица 37. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 38. Многогранники Площади поверхностей вращения плоских фигур Таблица 39. Квадрат

6 6 Ãåîìåòðèÿ. Ëó øèå çàäà è íà ãîòîâûõ åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ Таблица 40. Прямоугольник Таблица 41. Прямоугольный треугольник Таблица 42. Равнобедренный треугольник Таблица 43. Ромб Таблица 44. Круг и его части Таблица 45. Правильный шестиугольник Объемы тел вращения плоских фигур Таблица 46. Квадрат Таблица 47. Прямоугольник Таблица 48. Прямоугольный треугольник Таблица 49. Равнобедренный треугольник Таблица 50. Трапеция Таблица 51. Ромб Таблица 52. Правильный шестиугольник Таблица 53. Многоугольник Таблица 54. Круг и его части Объемы тел вращения многогранников Таблица 55. Куб Таблица 56. Правильная треугольная призма Таблица 57. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 58. Правильная шестиугольная пирамида Таблица 59. Многогранники Раздел V. Разные задачи Многогранники Таблица 60. Куб Таблица 61. Прямоугольный и прямой параллелепипеды Таблица 62. Правильная и прямая треугольная призмы Таблица 63. Правильная четырехугольная призма Таблица 64. Правильная шестиугольная призма Таблица 65. Правильная треугольная пирамида Таблица 66. Правильный тетраэдр Таблица 67. Треугольная пирамида Таблица 68. Треугольная усеченная пирамида Таблица 69. Правильная четырехугольная пирамида Таблица 70. Четырехугольная пирамида Таблица 71. Правильная четырехугольная усеченная пирамида Таблица 72. Правильная шестиугольная пирамида Таблица 73. Многогранники Фигуры вращения Таблица 74. Цилиндр

7 Ñîäåðæàíèå 7 Таблица 75. Конус Таблица 76. Усеченный конус Таблица 77. Шар Таблица 78. Треугольник Таблица 79. Прямоугольник Таблица 80. Параллелограмм и трапеция Раздел VI. Решения наиболее трудных задач VII класс VIII класс IX класс X XI классы Ответы

8 Ïðåäèñëîâèå На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для учащихся представляет выполнение черте жа. Кроме того, на его выполнение расходуется много времени. Предлагаемое вниманию читателя пособие ставит це лью устранить этот пробел с помощью готовых чертежей. Задачи на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и теорем. Эти задачи дают возможность в течение минимума времени усвоить и повторить значитель но больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках. Кроме того, эти задачи способствуют активиза ции мыслительной деятельности учащихся, обучают умению грамотно рассуждать, находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противопоставлять, де лать правильные выводы. В книге на всех чертежах равные углы и отрезки отмечены одинаковыми знаками, прямые углы квадратиками, что дает возможность учащимся значи тельно быстрее ориентироваться в условиях задачи. Предлагаемая методика проведения уроков с использованием задач на готовых чертежах несомненно способствует повышению творческой активности учащихся, развитию логического мышления, является эффективным средством усвоения и закрепления теоретического материала. Книга состоит из шести разделов. В первом и третьем разделах, для удобства пользования книгой, приводятся краткие теоретические сведения по курсу геометрии (планиметрии и стереометрии), сопровождаемые необходимыми определениями, свойствами и справочными материалами. Изложение материала сжатое, в конспективной форме, но достаточное, чтобы им мог пользоваться не только школьник, но и тот, кто незнаком с каким-либо разделом, и тот, кто окончил школу ранее и изрядно позабыл материал. Во втором и четвертом разделах приводятся наиболее интересные задачи, составленные в виде таблиц с готовыми рисунками. Количество задач в самих таблицах различно, среди них есть легкие, а более сложные расположены, как правило, в конце каждой таблицы, что дает возможность учителю вести дифференцированное обучение учащихся, а старшекласснику выбрать те или иные задачи в зависимости от уровня своей подготовленности. В пятом разделе автором собраны разные задачи на многогранники и фигуры вращения. В заключительном, шестом разделе приводятся подробные решения к наиболее трудным задачам.

9 Ïðåäèñëîâèå 9 Ко всем задачам в конце книги даны ответы, что дает возможность проверить правильность решенной задачи. Отметим, что предлагаемые задачи не ставят целью заменить систему задач из существующих учебников по геометрии, а являются лишь (как надеется автор) прекрасным дополнением к учебникам. Они дают возможность учителю сэкономить значительную часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усиле нию практической напрaвленности преподавания геометрии. В дополнениие к этой книге и для основательной подготовки к урокам, ГИА и ЕГЭ, автор настоятельно рекомендует использовать вышедшие в издательстве «Феникс» книги автора «Репетитор по геометрии для подготовки к ГИА и ЕГЭ классы», 2013 и книгу «Сборник задач по геометрии с решениями для подготовки к ГИА и ЕГЭ классы», 2013.

10 10 Ãåîìåòðèÿ. Ëó øèå çàäà è íà ãîòîâûõ åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ Ðàçäåë I ÊÐÀÒÊÈÅ ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ïëàíèìåòðèÿ 1. Óãëû Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образован ная двумя лучами, исходящими из одной точки. Точка O вершина угла, а лучи O и O стороны угла. Обозначение: O или ab. Угол в 90 называется прямым (рис. 2). Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3). Угол, больший прямого, но мень ший развернутого, называется тупым (рис. 4). O Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (рис. 5). O и O; O и O вертикальные. Вертикальные углы равны: O = O и O = O. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), O и O смежные. O Рис. 5 О Рис. 6

11 Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ 11 Рис. 7 Сумма смежных углов равна 180. Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и деля щий его пополам (рис. 7). Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга (рис. 8). Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9). Рис. 8 Рис. 9 При пересечении двух прямых a и b третьей c (секущей) образуется 8 углов (рис. 10): соответственные углы: c 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7; внутренние накрест лежащие: 1 2 a 4 и 6, 3 и 5; 4 3 внешние накрест лежащие: 1 и 7, 2 и 8; b внутренние односторонние: 4 и 5, 3 и 6; 6 5 внешние односторонние: и 8, 2 и 7. Рис Ìíîãîóãîëüíèê Рис. 10 пятиуголь ник (рис. 11). Точки. вершины многоуголь ника;. углы;,, и т. д. стороны; отрезки. диаго нали; P = периметр многоугольника. Многоугольник называется выпуклым (рис. 11), если он целиком располо жен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две

12 12 Ãåîìåòðèÿ. Ëó øèå çàäà è íà ãîòîâûõ åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ его соседние вер шины. В противном случае многоуголь ник называется невыпуклым (рис. 12). Свойства: 1. Сумма внутренних углов произ вольного n-угольника равна 180 (n 2). 2. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провести ( n 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на ( n 2) треугольников. 4. В выпуклом n-угольнике число диагоналей равно 1 n(n 3). 2 Рис Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным. Свойства: 180 ( 2) 1. Каждый угол правильного n-угольника равен n = n. n 2. Около правильного n-угольника можно описать окруж ность, и притом только одну. 3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом только одну. 4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех сторон n-угольника в их серединах. 5. Центр окружности, описанной около правильного n-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же n-угольник. 6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна a = 2R sin 180. n 7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна a = 2r tg 180. n 4. Òðåóãîëüíèê Треугольником называется геометрическая фигура, состоя щая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

13 Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ 13 b a a c Рис. 13 c b Рис. 14 Точки,, вершины. Отрезки, и сторо ны,, и углы. Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13): = c, = a, = b. P = a + b + c периметр треугольника. Треугольник, у которого все углы острые, называется остро угольным (рис. 13). Треугольник, у которого угол прямой, называется прямоуголь ным(рис. 14). Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b), а сторона, лежащая против прямого угла, гипотенузой (c). Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис. 15). Треугольник, у которого две стороны равны, называется рав но бед ренным(рис. 16). a b c Рис. 15 Рис. 16 Равные стороны называются боковы ми, а третья сторона основанием равнобедренного треугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 17). Каждый угол равностороннего треугольника равен 60. Рис. 17 Свойства равнобедренного треугольника: 1. Углы при основании равны. 2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновре менно медианой и высотой. 3. Высота, проведенная к основанию, является одновремен но медианой и биссектрисой.

14 14 Ãåîìåòðèÿ. Ëó øèå çàäà è íà ãîòîâûõ åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ 4. Медиана, проведенная к основанию, является одновре менно высотой и биссектрисой. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с ка ким-нибудь углом этого треугольника (рис. 18). внешний угол треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (рис. 18): = +. Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19). Рис. 18 Рис Ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треу гольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треу гольника, то 1 такие треу гольники равны (рис. 20). 1 1 = 1 1, = 1 1, = 1. Рис. 20 II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней углам) Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно 1 равны стороне и двум приле- жащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны 1 1 (рис. 21). Рис. 21 = 1 1, = 1, = 1. III признак (признак равенства по трем сторонам) Если три стороны од ного треугольника соответ ственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 22). 1 = 1 1, = 1 1, = Рис. 22 1

16 Ðàçäåë II. Çàäà è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ) 71 Продолжение табл KL квадрат K RN K = 4 S RNK = R N L K квадрат прямоугольник F параллелограмм P = 42, S = F Q R S = N P NK = 70 ромб S = 480 = Q K

18 Ðàçäåë II. Çàäà è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ) 73 Окончание табл KLT трапеция S = 81 K = K L трапеция S = T трапеция = 9 = 12 5 S = параллелограмм F Q RQN трапеция QN = 12 R = 5 S = R 10 N 20

20 Серия «Б ольшая перемена» Балаян Эдуард Николаевич ГЕОМЕТРИЯ Лучшие задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ 7 11 классы Ответственный редактор С. Осташов Технический редактор Л. Багрянцева Сдано в набор Подписано в печать Формат /16. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 21,93. Тираж 3000 экз. Заказ ООО «Феникс» , г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80 Сайт издательства: Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ООО «Кубаньпечать» , г. Краснодар, ул. Уральская, 98/2