ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

1 ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III Прибыль Определите оптимальный план выпуска изделий из условия максимизации прибыли. 2. Определите статус каждого ресурса.. Определите ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов. 4. Определите максимальный интервал изменения запасов ресурса I, в пределах которого текущее решение остается допустимым. 5. Производство какой продукции нерентабельно? 6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли? 7. Определите изменения величины прибыли при увеличении второго вида сырья на 10 ед. 8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде b =(400, 240, 210). Решение. 1. Определите оптимальный план выпуска изделий из условия максимизации прибыли. Составим математическую модель задачи по таблице данных: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II

2 III Прибыль Пусть предприятие производит x1, x2, x единиц продукции вида А, В и С соответственно. Тогда задача заключается в следующем: Максимизировать прибыль предприятия F = 9x1 + 10x2 + 16x max, При ограничениях на ресурсы трех видов: 18x1 + 15x2 + 12x 540, 6x1 + 4x2 + 8x 240, 5x1 + x2 + x 210, x, x, x Решим задачу симплекс-методом. Приведем задачу к каноническому виду, вводя дополнительные неотрицательные переменные: F = 9x + 10x + 16x max, x1 + 15x2 + 12x + x4 = 540, 6x1 + 4x2 + 8x + x5 = 240, 5x1 + x2 + x + x6 = 210, x 0, i = 1, 6. i Начальный план X = ( 0,0,0,540,240,210 ). Составляем первую симплекс-таблицу по задаче, записанной выше: x x x F В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой (оценка -16, столбец x ), а затем разрешающий элемент по наименьшему отношению свободных членов (столбец План) к положительным коэффициентам столбца (строка x 5 ). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять серым). x /2 0 x 0 /4 1/ /8 0 x /4 / /8 1 F В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой (оценка -2, столбец x 2 ), а затем разрешающий элемент по наименьшему отношению свободных членов к 2

3 положительным коэффициентам столбца (строка x 4 ). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять серым). x 20 1/ /18 5/24 0 F /9 5/ 0 В последней строке нет отрицательных оценок, план найден: x = 0, x = 20, x = 20, F max = Таким образом, необходимо производить по изделий вида В и вида С (изделия вида А не производить вообще), при этом прибыль будет максимальна и составит Определите статус каждого ресурса. Подставим оптимальный план в систему ограничений: = , = , = Получаем, что первые два ограничения выполняются как равенства, значит, ресурсы первого и второго вида полностью использованы, являются дефицитными. В третьем ограничении получаем 120 < 210, то есть данный ресурс использован не полностью, есть избыток в размере 90 единиц, ресурс не дефицитный.. Определите ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов. В строке F оптимального плана в столбцах дополнительных переменных получаем: x 20 1/ /18 5/24 0 F /9 5/ 0 * Двойственные оценки: ( 2 / 9,5 /,0) y =. * * Двойственные оценки определяют дефицитность (ценность) сырья. Так как y1, y 2 > 0, то, согласно второй теореме двойственности сырье и 1-го и 2-го типа полностью * используется в оптимальном плане и является дефицитным сырьем. Так как y = 0, сырье третьего вида есть в избытке, не дефицитное.

4 Кроме того, значения двойственных оценок показывают, насколько возрастает доход предприятия при увеличении дефицитного сырья на единицу (соответственно, на 2/9 и 5/). Таким образом, при решении задачи об увеличении запасов ресурсов в первую очередь надо увеличивать запасы ресурса второго вида, а потом уже ресурса первого вида. 4. Определите максимальный интервал изменения запасов ресурса I, в пределах которого текущее решение остается допустимым. Определим максимальный интервал изменения запасов первого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится. Другими словами, проведем анализ устойчивости двойственных оценок. Предельные изменения найдем из двойного неравенства: * * ( x j / ) bi min( x j / ) > 0 < 0 max где bi - величина изменения i -го типа сырья, k ij коэффициенты структурных сдвигов. Для первого типа сырья имеем: x 20 1/ /18 5/24 0 F /9 5/ 0 k 12 = 1/ 9, k 1 = 1/18, k 16 = 1/ max b1 min ;, k1 j > 0 1/ 9 k1 j < 0 1/18 1/ b Таким образом, интервал устойчивости двойственной оценки [ b 180, b + 60] = [ , ] = [60,900] Производство какой продукции нерентабельно? Согласно оптимальному решению, нерентабельно производство продукции первого вида (изделия вида А), в оптимальном плане данное изделие отсутствует ( x 1 = 0 ). 4

5 6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли? Запасы первого и второго ресурса снизить нельзя, они используются в плане полностью. Запас третьего ресурса можно уменьшить на 90 единиц. При этом план и прибыль останутся прежними (не уменьшатся). 7. Определите изменения величины прибыли при увеличении второго вида сырья на 10 ед. Определим максимальный интервал изменения запасов первого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.. Предельные изменения найдем из двойного неравенства: * * max( x / k ) b min( x / k ) > 0 j ij i j ij < 0 где bi - величина изменения i -го типа сырья, k ij коэффициенты структурных сдвигов. Для второго типа сырья имеем: x 20 1/ /18 5/24 0 F /9 5/ 0 k 22 = 1/ 6, k 2 = 5/ 24, k 26 = 1/ max b2 min ;, k2 j > 0 5/ 24 k2 j < 0 1/ 6 1/8 96 b Таким образом, интервал устойчивости двойственной оценки [ b2 96, b ]. Поскольку увеличение запаса ресурса второго вида на 10 единиц ( b2 = 10 ) попадает в интервал 96 b2 120, структура оптимального плана не изменится. Найдем новый оптимальный план: Базис План x5 Изменение Новый план x2 20,00-1/6-1 2/ 18, x 20,00 5/24 2 1/12 22,08 x6 90,00-1/8-1 1/4 88,75 F 520,00 1 2/ 16 2/ 56,67 5

6 Таким образом, в результате увеличения количества дефицитного ресурса второго вида на 10 единиц, производство изделий В уменьшится до 18, единиц, изделий вида С увеличится до 22,08 единиц. Суммарная прибыль предприятия увеличится на 16 2/ и составит 56, Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде b =(400, 240, 210). В данном случае количество сырья первого вида было уменьшено на =140 единиц. Так как уменьшение запаса ресурса первого вида на 140 единиц ( b1 = 140 ) попадает в интервал 180 b1 60, структура оптимального плана не изменится. Найдем новый оптимальный план: Базис План x4 Изменение Новый план x2 20,00 1/9-15 5/9 4,44 x 20,00-1/18 7 7/9 27,78 x6 90,00-1/6 2 1/ 11, F 520,00 2/9-1 1/9 488,89 Таким образом, в результате уменьшения количества дефицитного ресурса первого вида на 140 единиц, производство изделий В уменьшится до 4,44 единиц, изделий вида С увеличится до 27,78 единиц. Суммарная прибыль предприятия уменьшится на 1 1/9 и составит 488,89. 6

Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений