Предел функции. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции. Основные теоремы о пределах. Признаки сущес

Предел функции. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Вычисление предела функции.

Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции. Эквивалентные б.м. и основные теоремы о них. Вычисление пределов

1. Приращение аргумента и функции

Возьмём в области определения функции y = f ( x ) произвольно два значения аргумента, первое будем называть начальным (для точки М ), второе  изменённым (для точки М 1 ).

Начальное значение х считается постоянным в ходе всего рассуждения, а точка А (рис.2), соответствующая ему на оси Ох ,  неподвижной. Изменённое значение аргумента принято обозначать , ему на рис. 2. соответствует точка Р .

▼ выражает ту величину, на которую изменяется аргумент при переходе от первого значения аргумента ко второму, и называется приращением аргумента. ▲

равняется разности между вторым и первым значениями аргумента.

Значениям х и аргумента соответствуют определённые значения функции: начальное у и изменённое .

▼ есть величина, на которую изменяется значение функции у при изменении аргумента на величину , и называется приращением функции. ▲

равняется разности между вторым и первым значениями функции.

Построим точки М ( х;у ) и графика функции y = f ( x ) (рис.3). .

Геометрически приращение функции есть разность ординат точек графика функции, соответствующих изменённому и начальному значениям аргумента.

Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным. При положительном отрезок NN 1 = на оси ординат (рис.2) расположен выше неподвижной точки N , при отрицательном  ниже её (рис.3).

aДля того, что бы найти выражение приращения функции y = f ( x ), обусловленное изменением значения аргумента х на величину следует найти:

начальное значение функции есть: y = f ( x );

изменённое значение её равно: ;

Задание. Найти приращение функции . Соответствующее произвольному приращению аргумента х .

2. Предел функции в точке

Пусть функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х 0 , кроме быть может, самой точки х 0 .

Определение 1 (« на языке последовательностей », или по Гейне.)

▼ 1. Число А называется пределом функции y = f ( x ) в точке х 0 (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n , ( ), сходящейся к х 0 (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f ( x n ) , сходится к числу А (т.е. ).▲

В этом случае пишут или при .

a Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х , достаточно близких к точке х 0 , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А .

Определение 2 (на « языке ε-δ », или по Коши»

▼ 2. Число А называется пределом функции y = f ( x ) в точке х 0 (или при ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .▲

a Геометрический смысл предела функции: , если для любой ε-окрестности точки А найдётся такая δ-окрестность точки х 0 , что для всех из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f ( x ) лежат в ε-окрестности точки А .

Иными словами, точки графика функции y = f ( x ) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А +ε, у=А –ε. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

3. Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремится к х 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х 0 (слева от х 0 ), большим, чем х 0 (справа от х 0 ), или колеблясь около точки х 0 .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х 0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

▼Число А 1 называется пределом функции y = f ( x ) слева в точке х 0 , если для любого ε>0 существует число δ=δ(ε)>0 такое, что при выполняется неравенство

Предел слева записывают так: или коротко: f ( x 0 -0)= A 1 (обозначения Дирихле).

Аналогично определяется предел справа. Коротко предел справа обозначают или f ( x 0 +0)= A 2 .

▼Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами . ▲

Очевидно, если существует , то существуют оба односторонних предела f ( x 0 -0) и f ( x 0 +0) и они равны, т.е А=А 1 =А 2 . Справедливо и обратное утверждение. Если же , то не существует.

4. Предел функции при

Пусть функция y = f ( x ) определена в промежутке ).

▼Число А называется пределом функции f ( x ) при , если для любого положительного числа ε существует такое число M = M ( ε)>0, что при всех х , удовлетворяющих неравенству | x |> M выполняется неравенство

a Геометрический смысл этого определения таков: для любого положительного ε существует такое положительное М , что при или соответствующие значения функции совпадают в ε-окрестность точки А , т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ε, ограниченной прямыми у=А +ε и у=А -ε.

5. Бесконечно большая величина (б.б.)

▼Функция y = f ( x ) называется бесконечно большой величиной при , если для любого числа M > 0 существует число δ=δ( М )>0, что для всех х , удовлетворяющих неравенству

0 x - x 0 | f ( x )> M .▲

Записывают или при .

Если f ( x ) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ;

Если принимает лишь отрицательные значения, то пишут .

▼Функция y = f ( x ) называется бесконечно большой величиной при , если для любого числа M > 0 найдётся такое число S = S ( M )>0, что при всех х , удовлетворяющих неравенству | x |> S , выполняется неравенство | f ( x )|> M .▲

Свойства б.б. величин

Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

Сумма бесконечно большой величины и огрначенной фукнции есть величина бесконечно большая.

Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

6. Бесконечно малые величины (б.м.)

▼Функция y = f ( x ) называется бесконечно малой величиной при , если

По определению предела равенство означает: для любого числа ε>0 найдётся такое число δ>0 такое, что для всех х , удовлетворяющих неравенству 0 x -х 0 | δ, выполняется неравенство | f ( x )| ε.

Аналогично определяются б.м. при , , , : во всех этих случаях .

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая.

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую величину есть бесконечно малая.

Частное отделения бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Теорема. Если функция α( х )  бесконечно малая величина при ( ) ( ), то функция является бесконечно большой при ( ). И наоборот, если функция f ( x )  бесконечно большая, то функция  бесконечно малая при ( ).

Теорема . Если функция f ( x ) имеет предел, равный А , то её можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α( х ), т.е. если , то f ( x )= A +α( x ) .

Теорема (обратная). Если функцию f ( x ) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α( х ), то число А является пределом функции f ( x ) , т.е. если f ( x )= A +α( x ) , то .

7. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда и , аналогичны . В приводимых теоремах будем считать, что пределы и существуют и конечны.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Следствие . Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2 . Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие . Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

х 0 может обозначать и число и один из символов , + ,  .

Теорема . Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: