Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

1 Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная, вырожденная, невырожденная Ответы обоснуйте Размерность матрицы х Характеристики матрицы: Так как число строк равно числу столбцов, то матрица не прямоугольная, а квадратная Симметрической называют такую матрицу, что Так как a a, то матрица не симметрическая единичная матрица х имеет вид: 0 0 E Значит А не единичная 4 Нулевая матрица х имеет вид: O Значит А не нулевая 5 Треугольная матрица под главной диагональю все элемнты нулевые Так как a 0, то матрица не треугольная 6 Диагональная матрица имеет все недиагональные элементы нулевые Так как a 0, то матрица не диагональная 7 Вычислим определитель матрицы А: A Так как A 0, то матрица А невырожденная (значит не является вырожденной)

2 Задание [, стр -4] С матрицей А, записанной в задании, выполните действия, если это возможно Если действие выполнить нельзя, объясните причину A A * A A Выполнить действие невозможно, тк операция сложения определена только для матриц одинаковой размерности A Выполнить действие невозможно, тк операция умножения определена только для матриц таких, что число столбцов первой матрицы () должно быть равно числу строк второй матрицы () * A Найдем транспонированную матрицу: * * A * A

3 Задание [, стр 6] Найдите матрицу, обратную матрице А, записанной в задании Выполните проверку A 0 Определитель матрицы А (из з): A Определитель не равен нулю, значит, A существует Вычислим алгебраические дополнения: 0 0 A 4 A A A A 0 A A 6 A A 0 0 Выписываем обратную матрицу по формуле: 4 6 A 0 Выполним проверку: A A E, где Е единичная матрица: 4 6 A A E Значит, все вычисления выполнены верно

4 Задание 4 [, стр 7-9] Решите систему линейных уравнений тремя разными способами: y z y y z а) методом Гаусса При помощи элементарных преобразований над строками упрощаем расширенную матрицу системы 0 0 A Â Таким образом, исходная система равносильна следующей y yz z y y 5 z 7 5 y z Система имеет единственное решение б) средствами матричного исчисления Запишем систему в матричном виде: 0 y z Или AX B, Откуда X A B 7 5 X ; ; 4

5 Вычислим определитель матрицы системы (из з): A Определитель не равен нулю, значит, A существует В задании нами вычислена обратная матрица: 4 6 A 0 Тогда решением системы является X A B те решение системы X ; ; в) по формулам Крамера Найдём определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец свободных членов Найдём определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой второго столбца на столбец свободных членов Найдём определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов По формулам Крамера найдем неизвестные: 7, 5 y, z, 7 5 те решением системы является X ; ; 5

6 Даны векторы a, 4,, b5,, Найдите: вектор c a 5b и его длину Задание 5 [, стр ] Угол между данными векторами Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах ) c a 5b ; 5 5 5; 4 5 ; 5 6;; 7 c a b, Длина вектора с: c ) угол между векторами a и b ab cos a b a 4 9, b 5 5, cos угол между векторами a и b равен: 05 arccos 0 ) Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах S a b Вычислим векторное произведение векторов: i j k 4 4 ab 4 i j k i 4 9 j 5 k 6 0 5i 7 j 6k Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма: S ab

7 Задание 6 [, стр 4] Кривая второго порядка задана уравнением y 69 5 Определите ее вид, основные характеристики Запишите координаты центра и фокусов Изобразите эту кривую в декартовой системе координат Скорее всего, в условии задачи ошибка Чтобы кривая являлась кривой второго порядка, необходимо, чтобы были переменные во второй степени Пусть уравнение кривой имеет вид: y 69 5 Это каноническое уравнение эллипса: y, 5 Центр эллипса: A ;, Полуоси эллипса a, b 5 c a b, c 5 44, c Фокусы несмещенного эллипса: F c ;0, F c;0 Тогда фокусы смещенного эллипса: F ;0 5;, F ;0 9; Изобразим эллипс в декартовой системе координат: 7

8 Найдите следующие пределы: ) lim 0 ) lim lg ) lim Задание 7 [, стр 9-0, для п стр 7] 0 ) lim ) lim Разделим на переменную в старшей степени, встречаемой в выражении: 0 lim lim 0 0 lg lg 0 ) lim 0 Так как имеется неопределенность вида Бернулли: 0 0 lg lg lim lim lim lim, то применим правило Лопиталя- 8

9 Задание 8 [, стр 5] Найдите производные следующих функций: ) y ) y e e ) y (, стр64) y, y y 0 y e e, y e e y y 9

10 Задание 9 [, стр 9] 4 Выполните полное исследование функции и постройте ее график y ) Так как 4 0 при все х, то D y ; Область определения функции: Множество значений E y ; ) Четность функции: õ ó 4 4 y()= -y(-)- функция нечетная, график симметричен относительно начала координат ) Точки пересечения с осями координат: С осью OY =0, то 0 O 0;0 - пересечение с осью Оy y, значит, С осью Oх у= , O 0;0 - пересечение с осью Ох 4) Асимптоты графика: Вертикальных асимптот нет, т к нет точек разрыва lim lim lim lim y y 0 горизонтальная асимптота Так как имеется горизонтальная асимптота, то наклонных асимптот нет 5) Исследуем функцию на монотонность и экстремум: Найдем производную: y y 0, 4 0,, При переходе через точку значит, это тока максимума, знак производной меняется с плюса на минус, 0

11 y, 8 При переходе через точку значит это точка минимума y, 8 Функция возрастает на интервалах, знак производной меняется с минуса на плюс, ; ; Функция убывает на интервале ; 6) Найдем промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба Вычислим вторую производную: 4 8õ y õ õ y 0, 8õ 9 4 0,, 0 При переходе через эти точки, знак второй производной меняется поэтому все точки являются точками перегиба 9 6 y, y, Функция выпукла вверх ; 0; Функция выпукла вниз ;0 ; 7) Построим график функции

13 Задание 0 [, стр 4] Задана функция двух переменных Вычислите f 0; f y ; 4 f ; y 7 y y Вычислим частные производные функции: По х:, f y 0; 0 6 По y: f f y, y y f y ; Тогда f 0; f y; 6 5 4