Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости.

2 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат в одной плоскости. 4. Любые 4 точки не лежат в одной плоскости. 5. Если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 6. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника. 7. Две плоскости могут иметь только одну общую точку. 8. Две плоскости могут иметь только две общих точки. 9. Если точки A,B,C и D не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них могут лежать на одной прямой. 10. Если точки A, B, C, M и P не лежат в одной плоскости, то плоскости ABC и BMP пересекаются. 11. Если точки A,B,Cи D не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD могут пересекаться. Решите задачи. 1. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. Решение. 2

3 2. Точки A,B,C и D не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через каждые три из них? Решение: 3. Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости. Доказательство. Ответ: Параллельность в пространстве 1 2 3

5 Всегда ли верно утверждение? 1. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. 2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную прямую. 3. Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой этой плоскости. 5

6 4. Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то и другая параллельна этой плоскости. 5. Если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу. 6. Если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они могут скрещиваться. 7. Если боковые стороны трапеции параллельны некоторой плоскости, то трапеция параллельна этой плоскости. 8. Если одна сторона треугольника лежит в данной плоскости, то одна из средних линий этого треугольника параллельна этой плоскости. 9. Если прямая параллельна некоторой плоскости, то в этой плоскости существует только одна прямая, параллельная данной прямой. 10. Если две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Решите задачи. 1. Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM. M Решение: A B D C 6

7 2. Плоскость, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке A 1, а сторону BC - в точке B 1. Найдите длину отрезка A 1 B 1, если B 1 C = 10см, AB : BC = 4 : 5. C Решение: A 1 B 1 A B Ответ: 3. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках A 1 B 1 C 1 D 1. Найдите длину отрезка DD 1, если AA 1 =2м, BB 1 =3м, CC 1 =8м. D C О B Решение. A C 1 B 1 O 1 D 1 A 1 7

8 Перпендикулярность в пространстве

10 Всегда ли верно утверждение? 1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. 2. Через точку, лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. 3. Все прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. 4. Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. 5. Если из точки к данной плоскости проведены две равные наклонные, то равны и проекции этих наклонных. 6. Если из точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, то все три отрезка лежат в одной плоскости. 7. Если прямая перпендикулярна какой-нибудь прямой некоторой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 8. Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то ее ортогональная проекция на плоскость многоугольника является центром окружности, описанной около него. 9. Если две плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны. 10. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. Решите задачи. 1. Стороны треугольника равны 40см, 40см, 48см. Точка М находится на расстоянии 65см от каждой из вершин треугольника. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника. 10

11 Решение. C O B A 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найдите проекции наклонных. A Решение. B O C 3. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6м и боковой стороной 5м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника. Решение. 11

12 4. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45 к другому катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью. Решение. Призма 1) Призмой называется. который состоит из двух плоских., лежащих в разных плоскостях и совмещаемых., и всех отрезков, соединящих этих многоугольников. Свойства призмы: 1.Основания призмы.. 2.Боковые рѐбра призмы.. 3.Боковые грани призмы. 2) Высотой призмы называется, заключѐнный между еѐ основаниями. 3) Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий. 4) Диагональным сечением призмы называется сечение призмы плоскостью, проходящей через.. 12

13 5) Призма называется прямой, если еѐ боковые рѐбра. иначе призма называется.. 6) Призма называется правильной, если она является. и в еѐ основании лежит. 7) Многоугольник называется правильным, если у него. Параллелепипед 1) Параллелепипедом называется., все грани которой. 2) Параллелепипед называется прямоугольным, если он. и в его основании лежит Свойства параллелепипеда. 1. Параллелепипед является призмой, следовательно, он обладает всеми.. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются и. 3. Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен Изобразите: 1.Правильную треугольную призму 13

14 2.Правильную четырѐхугольную призму 3.Правильную шестиугольную призму Выбери верный ответ. 1. Сколько рѐбер у шестиугольной призмы: а) 6; б) 12; в) 18; г) 24; д) нет 2. Сколько двугранных углов у треугольной призмы: а) 3; б) 6; в) 9; г) 12; д) нет 3. Сколько высот у шестиугольной призмы: а) 1; б) 3; в) 6; г) нет 4. Сколько диагоналей у пятиугольной призмы: а) 5; б) 10; в) 15; г) 25; д) нет 5. Сколько граней у параллелепипеда: а) 2; б) 4; в) 6; г) 8; д) нет 6. Сколько вершин у четырѐхугольной призмы: а) 4; б) 8; в) 12; г) 16; д) нет 14

15 7. Сколько диагоналей у треугольной призмы: а) 2; б) 3; в) 6; г) нет 8. Сколько плоских углов при вершинах n-угольной призмы: а) 2n; б) 4n; в) 6n; г) 8n 9. Сколько трѐхгранных углов у n-угольной призмы: а) n; б) 2n; в) 3n; г) 4n 10. Сколько рѐбер у n-угольной призмы: а) n; б) 2n; в) 3n; г) 4n Построение сечений. Советы: Используйте следующие утверждения. 1) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. 2) Если две прямые лежат в одной плоскости и не параллельны, то они пересекаются. 3) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 1. Постройте сечение треугольной С1 призмы плоскостью, проходящей через вершину С1 и сторону основания АВ. А1 В1 С А В 1)Соединяем точки А и С1 2)Соединяем точки В и С1 3)Сечение АВС1 искомое. Решение: 15

16 2. Постройте сечение четырѐхугольной призмы плоскостью, проходящей через вершину D1 и сторону ВС. D1 A1 В1 D C1 A B C Решение: 1) Соединяем С и D1 2 )Продолжаем до пересечения прямые АD и ВС найдѐм их общую точку Е. 3) Точка Е лежит в одной плоскости с точкой D1 (в плоскости грани АА1 D1D). 4) Проведем прямую D1Е. Она пересечѐт ребро АА1 в точке F. 5) Проведѐм FB. 6) Четырехугольник FВСD1 искомое сечение. 3. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину С1 и ребро АВ. D1 A1 B1 C1 D A B C 16

17 Подготовительные задачи. Решите задачу по чертежу. 1) Найдите вторую диагональ параллелограмма Ответ: 2) Найдите радиусы вписанной, описанной окружностей и площадь треугольника Ответ: 3. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе, и площадь прямоугольного треугольника

18 4. Найдите площадь треугольника Ответ: 5. Найдите сторону ромба и его площадь. 8 6 Ответ: 6. Найдите стороны параллелограмма и его площадь Ответ: 18

19 1. Дано: Найти: S сеч. -? Сформулируйте задачу и решите еѐ Дано: Найти: Sсеч.1?, S сеч.2? Дано: Найти.

20 Пирамида Вставьте пропущенные слова. Пирамидой называется, который состоит из плоского., точки. и всех отрезков, соединяющих Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает пирамиду. Оставшаяся часть называется. Пирамида называется правильной, если в еѐ основании лежит. и основание перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды, является Высотой пирамиды называется, опущенный из к. Апофемой.. пирамиды называется. Диагональным сечением пирамиды называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через. Тетраэдром называется, все грани которой. Свойства пирамид 1. Если у пирамиды равны все боковые ребра, то основание ее высоты является Если у пирамиды равны все двугранные углы при основании, то основание ее высоты является. 20

21 Постройте: 1. Треугольную пирамиду: а) произвольную б) правильную в) высота которой является боковым ребром а) б) в) 2. Четырехугольную пирамиду: а) произвольную б) правильную в) высота которой является боковым ребром а) б) в) 3. Правильную усеченную пирамиду: а) треугольную б) четырехугольную в) шестиугольную а) б) в) 21

22 Выберите верный ответ: 1. Сколько рѐбер у шестиугольной пирамиды? а) 6 б) 12 в) 18 г)20 2. Сколько двугранных углов у четырѐхугольной пирамиды? а) 1 б) 6 в) 8 г) Сколько граней у пятиугольной пирамиды? а) 5 б) 6 в) 10 г)15 4. Сколько вершин у шестиугольной пирамиды? а) 1 б) 6 в) 7 г) Сколько плоских углов у четырѐхугольной пирамиды? а) 4 б) 8 в) 12 г) Сколько вершин у треугольной пирамиды? а) 3 б) 4 в) 6 г) 9 7. Сколько граней у n угольной усечѐнной пирамиды? а) n б) 2n в) n+1 г) n+2 8. Сколько вершин у n угольной усечѐнной пирамиды? а) n б) 2n в) n+2 г) n+4 9. Сколько рѐбер у n угольной усечѐнной пирамиды? а) n б) 2n в) 3n г) 4n Верно ли утверждение? 1. Существует пирамида, у которой две грани перпендикулярны к основанию. 2. Если у пирамиды все боковые грани правильные треугольники, то эта пирамида правильная. 22

23 3. Существует треугольная пирамида, у которой все грани прямоугольные треугольники. 4. У любой правильной пирамиды все рѐбра равны. 5. Если у пирамиды равны все боковые рѐбра, то она правильная. 6. У правильной пирамиды все двугранные углы равны. 7. У правильной шестиугольной пирамиды боковые грани могут быть равносторонними треугольниками. Построение сечений пирамиды 1. S A M C Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и сторону основания ВС. В 23

24 2. S M A С B D Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и сторону основания СD, пользуясь следующим алгоритмом: 1. МD 2. СD АВ = Е 3. МЕ 4. МЕ SB = Р 5. РС 6. МDСР искомое сечение 3. S A D M Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и сторону основания АВ. B C 4. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М, N и Р, лежащие на боковых рѐбрах. M N P 24

25 Составьте по чертежу условие задачи и решите ее ? ?

27 Решите задачу Дана правильная треугольная усеченная пирамида, высота которой равна 5. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45. Найдите боковое ребро. 27

28 Цилиндр Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 Заполните пропуски 1. Прямым круговым цилиндром называется тело, полученное. 2. Осью цилиндра называется прямая, Высотой цилиндра называется перпендикуляр, Образующей цилиндра называется отрезок, 5. Осевым сечением цилиндра называется сечение Цилиндр называется равносторонним, если. 7. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является..8. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию, является. Решите задачи: 1. Радиус его основания равен 4м, а высота 15м. Найдите: а) диагональ осевого сечения цилиндра; б) площадь осевого сечения; в) площадь основания. Решение. 28

29 2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу 120. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 5см, а расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 2см. Решение. 3. Через образующую цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен

30 Конус Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 1. Прямым круговым конусом называется тело, полученное Осью конуса называется прямая, проходящая Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный. 4. Образующей конуса называется отрезок, соединяющий.. 5. Осевым сечением конуса называется сечение Конус называется равносторонним, если Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает. Оставшаяся часть называется.. 8. Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, является Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является. Решите задачи. 1. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. Решение: 30

31 1 2. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите площадь основания конуса. Решение. 3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите высоту усеченного конуса. Решение. 4. Площадь боковой поверхности равностороннего конуса равна см Найдите радиус основания и образующую конуса. Решение. 31

32 Шар 1. Шаром называется множество точек пространства, находящихся 2. Сферой называется.. 1. Радиусом шара называется отрезок, соединяющий Диаметром шара называется отрезок, соединяющий.. 3. Плоскость, проходящая через центр шара, называется 4. Плоскость, имеющая с шаром только одну общую точку, называется 5. Любое сечение шара плоскостью является.. Сечение шара диаметральной плоскостью называется. 6. Радиус шара, проведенный в точку касания. 7. Отрезок, соединяющий центр шара и центр сечения. Части шара 1. Шаровым сегментом называется часть шара. 2. Шаровым сектором называется часть шара. 3. Шаровым слоем называется часть шара, Шаровым поясом называется.. 32

33 Решите задачи: 1. Расстояние от центра шара радиуса 12см до секущей плоскости равно 8см. Найдите площадь сечения. 2. Радиус сферы 112см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы. 33

34 3. Сфера касается граней двугранного угла в 120. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а. O A a R C B 34