контрольная работа №1 1 курс 1 семестр
Представим числа z1, z2, z3 в тригонометрической форме:
1 = (угол находится во 2-ой четверти).
2 = (угол находится в 3-ей четверти).
3 = (угол находится в 4-ой четверти).
Для нахождения z2 2 воспользуемся формулой Муавра:
(r (cos + i sin)) n = r n (cos n + i sin n)
Аналогично находим z3 4 = r3 4 (cos42 + isin42) = ( ) 4 (cos + isin ) = 4(cos 7 + isin 7) = 4(cos (6 + ) + isin (6 + )) = 4(cos + i sin )
Произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме находят по формуле
Частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме находят по формуле
в) z = r e i φ - показательная форма комплексного числа.
Далее воспользуемся формулой Муавра:
Аналогично находим z3 4 = ( ) 4 = 4
2) Найдем расстояние d между точками и на комплексной плоскости, которое равно модулю их разности.
Разность двух комплексных чисел вычисляем по формуле:
Тогда расстояние d между точками и будет
Ответ: 1) - алгебраическая форма; - тригонометрическая форма; z = ; 2)
Решить уравнение на множестве комплексных чисел.
Решим заданное биквадратное уравнение относительно z 2 :
Это уравнение относительно z 2 не имеет решений на множестве действительных чисел и имеет два решения (z1 2 = 3 + 3i и z2 2 = 3 - 3i) на множестве комплексных чисел.
Квадратным корнем из комплексного числа будет комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу.
.Числа u и vопределим из равенств
Обозначим z1 = = u + iv. Тогда
Получили два значения корней:
Аналогично обозначим z2 = = w - it. Тогда
Получили два значения корней:
Как видим, корни λ1 и λ3, λ2 и λ4 являются соответственно сопряженными, т.к. чила z1 и z2 – сопряженные.
Ответ: ,
Решите систему уравнений тремя способами:
1) методом Крамера;
2) методом обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
а) Составим матрицу А системы из коэффициентов этой системы и найдем определитель матрицы:
Т.к. ∆ ≠ 0, значит ранг r(A) матрицы системы и ранг расширенной матрицы
r (A) равны: r (A) = r (A) = 3. Значит, система уравнений совместна и имеет
Решим заданную систему по формулам Крамера.
Решение системы найдем с помощью вспомогательных определителей ∆х1, ∆х2, ∆х3:
Найдем корни уравнения:
б) Решим данную систему методом Гаусса, для чего проведем последовательных элементарных преобразований строк расширенной матрицы, стремясь к тому, к тому, чтобы каждая строка, кроме первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Представим систему в виде расширенной матрицы:
Поменяем 1-ую и 3-ю строки местами:
Из 2-ой строки вычтем 1-ую, умноженную на 2. Из 3-ей строки вычтем 1-ую, умноженную на 3:
2-ую строку разделим на (-3) и поменяем ееместами с 3-ей:
Получили эквивалентную исходной систему:
Последовательно снизу вверх находим:
в) Решим исходную систему матричным методом.
Рассмотрим три матрицы системы:
матрицу системы А =
матрицу- столбец неизвестных В =
матрицу- столбец правых частей (свободных членов) С =
Тогда систему можно записать в матричном виде: АВ = С, а т.к. определитель матрицы А ∆ = detA = - 6 ≠ 0, то ее решение можно записать в матричном виде: В = А -1 С, где А -1 - матрица, обратная к матрице А.
Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы. А затем транспонируем ее, т.е. поменяем ее строки на столбцы, а столбцы на строки и найдем обратную матрицу А -1 по формуле:
А -1 = , где Аij - алгебраические дополнения соответствующих элементов.
А11 = (-1) 1+1 = - 2 · 2 – (-1) · 1 = - 3
А12 = (-1) 1+2 = - (2 · 2 – 1 · 1) = - 3
А13 = (-1) 1+3 = 2 · (-1) – (-2)· 1 = 0
А21 = (-1) 2+1 = - ((-1) · 2 – 1· (-1) = 1
А22 = (-1) 2+2 = 3 · 2 – 1 · 1 = 5
А23 = (-1) 2+3 = - (3 · (-1) – 1 · (-1)) = 2
А31 = (-1) 3+1 = (-1) · 1 – (- 2) · 1 = 1
А32 = (-1) 3+2 = - (3 · 1 – 2 · 1) = - 1
А33 = (-1) 3+3 = 3 · (- 2) – 2 · (-1) = - 4
Ответ: х1 = 3; х2 = 1; х3 = - 3
Даны три вектора Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.
3) Найдем смешанное произведение векторов :
Т.к. ≠ 0, значит данные векторы не компланарны. Таким образом, они линейно независимы и образуют базис. При этом, они образуют левую тройку векторов, т.к. их смешанное произведение – число отрицательное:
Ответ: Векторы образуют базис, тройка векторов – левая.
Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4:
1) угол между ребрами и
2) площадь грани
3) высоту, опущенную из вершины на грань
4) уравнение прямой, проходящей через ребро
5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань
6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотности (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).
1) Найдем направляющий вектор прямой А1А2:
Аналогично найдем направляющий вектор прямой А1А4:
- направляющий вектор прямой А1А4 .
Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем как угол между векторами :
Следовательно, (А1А2, А1А4) = = arccos 0,967 0,258(рад) 14,76 о
3) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; по формуле:
где N(A, B,C) – нормальный вектор к плоскости А1А2 А3, являющийся направляющим вектором искомой высоты.
4) Запишем уравнение прямой, проходящей через ребро А1А2 в виде уравнения прямой, проходящей через две точки А1 и А2:
5) Найдем уравнение плоскости, которой принадлежит грань А1А2 А3 по трем точкам:
(x-3)( - 3 - 2) – (y - 2)( -1 + 4) + ( z - 1)(-1 - 6) = 0
- 5(x-3) - 3(y - 2) - 7( z - 1) = 0
- 5x - 3y - 7z + 28 = 0
5x + 3y + 7z - 28 = 0 – общее уравнение плоскости А1А2 А3.
= (A, B, C) = (5, 3, 7) – нормальный вектор плоскости А1А2 А3.
6) Массу пирамиды изготовленной из меди плотности , найдем по формуле:
m = V, где V – объем пирамиды.
Найдем объём пирамиды по формуле:
где S- площадь грани А1 А2 А3, h – высота, опущенная из вершины А4.
Найдем длину высоты h как расстояние от точки А4 (2; -1; 2) до
Ответ: 1) 14,76 о ; 2) ; 3) ;
4); ; 5) 5x + 3y + 7z - 28 = 0; 6) 10,4 грамма.
Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением
1) на плоскости,
2) в пространстве.
Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:
3(х 2 + 6х + 9) – у – 27 + 28 = 0
Введем новые координаты:
х + 3 = х, у – 1 = у
Тогда уравнение примет вид
Получили каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси ординат. Ветви ее обращены в положительную сторону оси ординат. Вершина находится в точке О′ (- 3; 1) в системе координат хОу.
Изобразим полученную параболу на плоскости хОу:
В пространстве данное уравнение описывает параболический цилиндр, который пересекает плоскость хОу по параболе с вершиной в точке (-3, 1, 0).
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.