dt где r радиус-вектор материальной точки, t время; производная радиус-вектора материальной точки по времени.

1 Физические основы механики Пояснение к рабочей программе Физика наряду с другими естественными науками изучает объективные свойства окружающего нас материального мира Физика исследует наиболее общие формы движения материи Простейшей и наиболее общей формой движения является механическое движение Механическим движением называется процесс изменения взаимного расположения тел в пространстве и с течением времени Классическая механика изучает движение макроскопических тел совершаемых со скоростями малыми по сравнению со скоростью света в вакууме Законы классической механики были сформулированы И Ньютоном в 687 году но не утратили своего значения в наши дни Движение частиц со скоростями порядка скорости света рассматривается в релятивистской механике основанной на специальной теории относительности а движения микрочастиц изучается в квантовой механике Это значит что законы классической механики имеют определенные границы применения Механика делится на три раздела: кинематику динамику и статику В разделе кинематика рассматриваются такие кинематические характеристики движения как перемещение скорость ускорение Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления В основе классической динамики лежат три закона Ньютона Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил входящих в эти законы Динамика охватывает такие вопросы как закон сохранения импульса закон сохранения полной механической энергии работа силы При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками Здесь вводятся понятия момента силы момента инерции момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса Скорость мгновенная: Основные формулы dr v где r радиус-вектор материальной точки t время; d r производная радиус-вектора материальной точки по времени Модуль вектора скорости: где s расстояние вдоль траектории движения (путь) ds v s Скорость средняя (модуль): v t

2 Ускорение мгновенное: Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении: Ускорение при криволинейном движении: нормальное где R радиус кривизны траектории тангенциальное полное (вектор) (модуль) Скорость и путь при движении: равномерном равнопеременном v начальная скорость; а > при равноускоренном движении; а < при равнозамедленном движении Угловая скорость: где - угловое перемещение Угловое ускорение: Связь между линейными и угловыми величинами: Импульс материальной точки: где масса материальной точки s s s t t t dv dv v n R dv ; n ; n v const s vt t v v t s v t s R d d v R R n p v R

3 Основное уравнение динамики поступательного движения (II закон Ньютона): где F результирующая сила F Формулы сил: тяжести где g ускорение свободного падения трения N F i i F F dp P g F тр N где коэффициент трения N сила нормального давления упругости F упр kx где k коэффициент упругости (жесткости) х деформация (изменение длины тела) Закон сохранения импульса для замкнутой системы состоящей из двух тел: v v u u где v и v скорости тел до взаимодействия; u и u скорости тел после взаимодействия Потенциальная энергия тела: поднятого над Землей на высоту h W п gh k(x) упругодеформированного Wп v Кинетическая энергия поступательного движения: W к Работа постоянной силы: A F scos где - угол между направлением силы и направлением перемещения Полная механическая энергия: W W к Wп Закон сохранения энергии: силы консервативны W W силы неконсервативны A W W W W где W энергия системы тел в начальном состоянии; W энергия системы тел в конечном состоянии Момент инерции тел массой относительно оси проходящей через центр инерции (центр масс): тонкостенного цилиндра (обруча) I R где R радиус 3

4 сплошного цилиндра (диска) I R шара I R 5 стержня длиной l если ось вращения перпенди- кулярна стержню и проходит через его середину I l Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера): I I d где I момент инерции тела относительно оси проходящей через центр масс d расстояние между осями Момент силы (модуль): где l плечо силы Основное уравнение динамики вращательного движения: где угловое ускорение M результирующий момент сил M Fl M I Момент импульса: материальной точки относительно неподвижной точки где r плечо импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения L vr L I L L Закон сохранения момента импульса: где L момент импульса системы в начальном состоянии L момент импульса системы в конечном состоянии Кинетическая энергия вращательного движения: Работа при вращательном движении где изменение угла поворота W к I M A 53 Примеры решения задач по механике 3 Задача Движение тела массой кг задано уравнением: s 6t 3t где путь выражен в метрах время в секундах Найти зависимость ускорения от времени Вычислить равнодействующую силу действующую на тело в конце второй секунды и среднюю силу за этот промежуток времени 4

5 Дано: s 6t t кг 3 3t t c Найти: ( t) F F Решение: Модуль мгновенной скорости находим как производную от пути по времени: ds v 8t 3 Мгновенное тангенциальное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени: dv 36t Среднее ускорение определяется выражением: v v v где v 8t 3; v 8t 3 t t t После подстановки: 8(t t ) 8(t t) t t Равнодействующая сила действующая на тело определяется по второму закону Ньютона: F F Тогда F 36 t F кг 36 м / с 44 H : F 8(t t); F 8 7 H Ответ: (t) = 36t F = 44 H <F> = 7 H Задача По наклонной плоскости составляющей с горизонтом угол 3 движется тело массой 5 кг К этому телу с помощью нерастяжимой нити перекинутой через блок привязано тело такой же массы движущееся вертикально вниз (рис ) Коэффициент скольжения между телом и наклонной плоскостью 5 Определить ускорение тел и силу натяжения нити Дано: 3 Найти: 5 Fн 5 кг 5

6 Рис Решение: Покажем на рисунке силы действующие на каждое тело Запишем для каждого из тел уравнение движения (второй закон Ньютона): g Fн g Fн N F В проекциях на выбранные оси координат: Учитывая что g F F н N F тр н g sin F g cos тр (на ось z); тр (на ось y) (на ось x); N где N gcos получим систему уравнений: g Fн Fн g sin Вычтем из первого уравнения второе: Искомое ускорение равно: g cos g gsin gcos Вычислим ускорение а: g g sin g cos sin cos Силу натяжения найдем из первого уравнения системы: F F н н g ; Н 8 м / c Ответ: 8 м / c Fн 38 6 Н Задача 3 Найти линейные ускорения движения центров тяжести шара и диска скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости Угол наклона плоскости равен 3 Начальная скорость тел равна нулю Дано: Найти: 3 v а а ш д Рис 6

7 Решение: При скатывании тела с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия переходит в кинетическую поступательного и вращательного движения По закону сохранения энергии: gh v I () где I момент инерции тела масса Длина наклонной плоскости l связана с высотой соотношением (рис ): h l sin () Линейная скорость связана с угловой: После подстановки () и (3) в () получим: v (3) R v I sin R gl (4) Так как движение происходит под действием постоянной силы (силы тяжести) то движение тел - равноускоренное Поэтому: t l (5) и v t (6) Решая совместно (4) (5) и (6) получим: gsin I (7) Моменты инерции: для шара: I R для диска: 5 I R Подставляя выражение для момента инерции в формулу (7) получим: R для шара: ш g sin 5 5 gsin 9 8sin3 3 5 м / c ; R R 7

8 для диска: Ответ: g sin / R 3 3 R д gsin 9 8sin3 3 7 м c / ш 3 5 м / c д 3 7 м c 8

9 Справочные материалы Основные физические постоянные Физическая постоянная Обозначение Значение Ускорение свободного падения g 98 м/с Постоянная Авогадро N 3 6 /моль Газовая постоянная R 83 Дж/(моль К) 3 Постоянная Больцмана k 38 Дж/К 9 Элементарный заряд е 6 Кл Масса электрона Масса протона A 3 e 9 кг 7 p 67 кг Скорость света в вакууме с 8 3 м/с Постоянная Планка h Дж с 8 4 Постоянная Стефана-Больцмана 5 67 Вт /( м К ) 3 Постоянная закона смещения Вина b 9 м К Справочные данные Электрическая постоянная 8 85 Ф/м Магнитная постоянная 7 4 Гн/м Атомная единица массы 7 а е м 66 кг Единица энергии электрон-вольт 9 эв 6 Дж Единица длины Ангстрем A м Масса -частицы = 4 р где р масса протона Заряд -частицы q = e где е элементарный заряд o Молярные массы некоторых веществ Эффективный диаметр 3 Кислород ( O ) 3 кг/моль 9 - м 3 Водород ( H ) кг/моль 3 - м 3 Азот ( N ) 8 кг/моль 3 - м Аргон (Ar) 3 4 кг/моль 36 - м Гелий (He) 3 4 кг/моль 9 - м Воздух = 9-3 кг/моль 3 - м Углекислый газ = 44-3 кг/моль 4 - м 9

10 Приставка Приставки служащие для образования кратных единиц СИ Числовое значение Обозначение Приставка Числовое значение Обозначение пико - п санти - с нано -9 н деци - д микро -6 мк кило 3 к милли -3 м мега 6 М