Бесконечное число имен бесконечности

В издательстве Гарвардского университета (Harvard University ) только что появилась новая книга двух профессоров — американца Лорена Грэхэма ( Loren Graham ) и француза Жана Мишеля Кантора ( Jean-Michel Kantor ), — с интригующим заголовком «Имя для бесконечности, или подлинная история математических идей религиозных мистиков» («Naming Infinity: A True Story of Religious Mysticism and Mathematical Creativity»). Авторы её ещё несколько лет назад пришли к убеждению, что создание математиками из Москвы нового направления в теории множеств в начале ХХ века совершенно не случайно. Оно находится в тесной взаимосвязи со своеобразными философскими идеями московских же мистиков, считавших, что верующий почитает не самого бога, а имя бога . Отталкиваясь от философии имени, им удалось прийти к исчислению бесконечностей, на несколько десятилетий обогнав признанных мастеров жанра — французских математиков.

С идеями профессоров Грэхэма и Кантора согласны не все — и среди российских математиков у них есть свои оппоненты. Однако есть повод заново обдумать, как связаны имена и числа перед лицом бесконечности.

Детский стишок Маршака начинается на удивление точно:

Кто стучится в дверь ко мнеС толстой сумкой на ремне,С цифрой 5 на медной пряжке,В синей форменной фуражке…

В некоторых, совершенно ошибочных редакциях тот же текст передается иначе: «С цифрой „пять“ на медной пряжке…». Ошибка тут в том, что «пять» — это не цифра, а слово, а вот «5», как у Маршака, именно цифра. И V — тоже цифра, хотя и другая. Нас не должно удивлять, что одно и то же число может быть записано и словами, и цифрами.

А ещё бывает школьный розыгрыш: 10 — это сколько? Суть розыгрыша в том, что при позиционной записи чисел при помощи цифр значение каждой из них определяется не только самими цифрами, но и их положением. И если с первой справа позицией все ясно — это всегда единицы, то следующий разряд может быть каким угодно. Например, в двоичной системе счисления — это двойка, и в таком случае мы имеем просто своеобразно записанное число два. Впрочем, это своеобразие довольно относительно: в любом компьютере двойка записывается именно так. Хотя иногда «10» может означать и восьмерку, если подразумевается восьмеричная система счисления, или даже число шестнадцать, если система счисления шестнадцатеричная — они обе тоже довольно часто применяются в современной информатике.

В отличие от цифр, которых совсем немного, число чисел неисчислимо (прошу прощения за каламбур), поскольку для любого числа есть ещё большее — достаточно добавить единицу. Это правило, интуитивно очевидное, было даже включено в определение натурального ряда и получило название аксиомы Пеано в честь сформулировавшего его итальянского математика Джузеппе Пеано ( Giuseppe Peano , 1858–1932). Так же интуитивно тут можно почувствовать некий философский подвох, но все же закрыть глаза на бесконечность ряда натуральных чисел, полагая, что в практической жизни можно ограничиться его конечным куском, положив в качестве «максимального» гугол или стасплекс .

Философские проблемы дают себя знать, когда внутри одной бесконечности вдруг обнаруживается другая. Например, выбирая среди всех чисел только четные, мы снова получим бесконечную последовательность 2, 4, 6, … Для того, чтобы не путаться с бесконечностями, математики стали говорить о множествах и мощностях: множество натуральных чисел, хотя и бесконечно, равно по мощности множеству четных. Это следует из существования простого правила, устанавливающего связь между этими двумя множествами: достаточно разделить на 2 любое четное число или умножить на 2 любое натуральное, чтобы убедиться во взаимной однозначности этого правила.

Похожее правило — только немного более сложное — взаимнооднозначно связывает натуральные числа и со всеми простыми дробями. Иначе говоря, простые дроби тоже можно перенумеровать. А значит, и множество рациональных чисел имеет ту же мощность, что и множество рациональных, то есть и эти две бесконечности «равны» друг другу. Так, может быть, бесконечность едина и все бесконечные множества в этом смысле всегда «равны» друг другу? Но нет: во-первых, иррациональные числа перенумеровать невозможно — и это множество оказывается «больше», чем множество натуральных чисел, — а во-вторых, для любого множества можно построить «большее».

Оба эти утверждения доказал немецкий математик Георг Кантор ( Georg Cantor , 1845–1918). Раз бесконечности разные, то для них тоже можно ввести свои имена — так сказать, трансфинитные числа. Мощность натурального ряда Кантор обозначил буквой алеф из древнееврейского алфавита с индексом ноль: אo, а для мощности континуума — это непрерывный отрезок прямой или вся прямая — он использовал ту же букву, но с индексом единица: אl, тем самым предполагая, что никакого другого трансфинитного числа между אo и אl быть не может.

О том, что континуум можно считать множеством точек, стало известно незадолго до Кантора, но он смог доказать это еще раз, сумев «перенумеровать» все точки прямой — точнее, единичного отрезка. Только в роли «номеров» в этом случае выступают не натуральные числа, а бесконечные последовательности цифр. Достаточно даже просто нулей и единиц (если считать, что каждый «номер» записан в двоичной системе): множество дробей вида 0,100010100111… полностью воплощает в себе множество всех рациональных чисел вместе с иррациональными от 0 до 1. Однако из теории Кантора следовало и нечто большее: его «алефы» позволяли нумеровать точки, для которых прямая слишком коротка (отсюда и название трансфинитные — то есть находящиеся «за бесконечностью»).

Идеи Кантора стоили ему больших несчастий. Многие из его коллег нашли в теории «алефов» не просто множество математических парадоксов и несуразностей — это было бы полбеды. В рассуждениях Кантора просматривалась его глубокая религиозность и желание постичь «Абсолют». По мере того, как он развивал свою теорию, у него все больше разлаживались отношения с начальством по университету в городе Галле , и от нее отказывались даже те математики, которые поначалу отнеслись к ней восторженно. Центром математической мысли в конце XIX века была Франция , но двое ведущих французских математиков Шарль Эрмит ( Charles Hermite , 1822–1901) и Поль Эмиль Аппель ( Paul Émile Appell , 1855–1930) высказывались даже против того, чтобы переводить сочинения Кантора на французский язык . Можно было ожидать, что новые идеи поддержит патриарх французской математики, человек, во многом предвосхитивший её будущее развитие в ХХ веке, — Анри Пуанкаре ( Henri Poincaré , 1854–1912)… Но нет — и он тоже отказывался разговаривать «об актуальной бесконечности».

К концу века на самого Кантора все чаще нападают приступы депрессии . Постепенно становится очевидно, что речь идет о серьезном заболевании — маниакально-депрессивном психозе. Эмиль Борель ( Émile Borel , 1871–1956), один из молодых поклонников теории множеств, постепенно стал чувствовать отторжение к ней, которое только усиливалось от слухов о болезнях других математиков. Спустя много лет после этого он написал своему другу Полю Валери ( Paul Valéry , 1871–1945), что ему пришлось отказаться от занятий теорией множеств «из-за переутомления, которое на него навалилось и заставило опасаться серьезных заболеваний, в том случае, если бы он продолжил свою работу».

Вопрос закрыл ещё один авторитетный математик — Жак Адамар ( Jacques Salomon Hadamard , 1865–1963), заключивший, что весь сюжет вышел за «пределы математики» и стал относиться «к психологии, к свойствам нашего разума». Это решение многим показалось остроумным, но, по мнению Лорена Грэхэма и Жан-Мишеля Кантора, оно повлекло за собой уход французской математики с передовой. Увидев серьезное математическое содержание в сравнении размеров бесконечных множеств и упорядочении их бесконечных же подмножеств, математики России смогли построить школу, долгое время остававшуюся первой и даже к настоящему времени не до конца утратившую свое значения.

Первые одиннадцать лет своей жизни создатель теории множеств провел в Санкт-Петербурге . Однако климат этого города оказался слишком вредным для его отца, и в 1856 году вся семья перебралась в значительно более благоприятный климат Франкфурта-на-Майне . Изучение естественных и технических наук осуществлялось юным Кантором в самых разных городах Европы — от Дармштадта до Цюриха — и сопровождалась вполне ожидаемой борьбой с родителями, с большей радостью видевших в своем ребенке инженера, а не математика с явными философскими склонностями. Однако постепенно Георг преодолел их сопротивление и, как уже говорилось, очутился в университете Галле.