10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

На этом уроке мы повторим теоретический материал прошлых уроков и решим типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой х, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

3. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

4. Теорема о существовании прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости

Через любую точку М пространства проходит единственная прямая а, перпендикулярная плоскости α.

5. Задача 1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР1Q1Q. В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

6. Задача 2

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1.

Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ1P1. Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р1Q1. Так как прямые РР1 и QQ1 параллельны, а угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q - прямоугольная трапеция.

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

7. Задача 3

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

8. Задача 4

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР1Q1Q. В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

9. Задача 5

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1.

Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ1P1. Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р1Q1. Так как прямые РР1 и QQ1 параллельны, а угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q - прямоугольная трапеция.

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

10. Задача 6.

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

11. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две прямые p и q, пересекающиеся в точке О (рис. 1). Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

12. Стандартный прием

Пусть нам нужно доказать перпендикулярность двух прямых а и m.

Доказательство можно осуществить следующим образом. Нужно подыскать такую плоскость, которая проходит через прямую m и перпендикулярна прямой а.

Конечно, в каждом случае, в каждой конкретной задаче это делается по-разному. Но, общий прием такой: надо найти две прямые р и q, которые пересекаются и каждая из них перпендикулярна прямой а, и тогда плоскость α, которая проходит через прямые р и q, будет перпендикулярна прямой а.

Тогда получаем: прямая m лежит в плоскости α, плоскость α перпендикулярна прямой а. Так как прямая а перпендикулярна плоскости α, то она перпендикулярна любой прямой из плоскости α, в том числе и нужной прямой m.

13. Задача 7

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90° (рис. 2). Прямая ВD перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что прямая СD перпендикулярна прямой АС.

Итак, прямая АС перпендикулярна прямой ВС, прямая АС перпендикулярна прямой ВD, т.к. ВD перпендикулярна по условию плоскости АВС. Значит, прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся в точке В прямым из плоскости ВСD.

Получаем, что прямая АС перпендикулярна плоскости ВСD(по признаку), а значит, и прямой СD, так как , что и требовалось доказать.

14. Задача 8

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Рассмотрим треугольник АМС. По условию треугольник АМС равнобедренный.

По свойству параллелограмма О - середина АС, т.е. МО – медиана в треугольнике АМС. Медиана в равнобедренном треугольнике является и высотой, получаем, что прямая ОМ перпендикулярна прямой АС.

Рассмотрим треугольник ВМD. По условию треугольник ВМD равнобедренный. Точка О – середина ВD. Значит, МО – медиана, а значит, и высота, т.е. прямая МО перпендикулярна прямой ВD.

Получаем, что прямая МО перпендикулярна двум пересекающимся прямым АС и ВD из плоскости АВС, значит, прямая МО перпендикулярна плоскости АВС (по признаку), что и требовалось доказать.

15. Задача 9.

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 4). Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМО.

Прямая ВD перпендикулярна прямой АС по свойству квадрата (диагонали квадрата перпендикулярны).

Прямая ВD также перпендикулярна прямой АМ, потому что АМ перпендикулярна плоскости квадрата, а значит, и прямой ВD.

Получаем, что прямая ВD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и АС из плоскости АМО. Следовательно, прямая ВD перпендикулярна плоскости АМО по признаку, что и требовалось доказать.

16. Задача 10.

Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ (рис. 5). Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90°, МВ = m, АВ = n. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата.

Треугольники МВА и МВС прямоугольные. Катет МВ общий, АВ = ВС (так как стороны квадрата равны). Треугольники МВА и МВС равны (по двум катетам). Значит, и гипотенузы их равны. Найдем их длину по теореме Пифагора:

Прямая МВ перпендикулярна прямой АВ и прямой ВС из плоскости АВС (по условию). Следовательно, прямая МВ перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС. Значит, прямая МВ перпендикулярна прямой ВD. Получаем, что угол МBD – прямой, а значит, треугольник МBD прямоугольный. Найдем гипотенузу МD:

17. Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на перпендикулярность прямой и плоскости. На следующем уроке мы перейдем к теореме о трех перпендикулярах.