5. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ

1 5. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ 5.1. Прямая линия, перпендикулярная плоскости 5.. Взаимно перпендикулярные плоскости 5.3. Взаимно перпендикулярные прямые 5.1. Прямая линия, перпендикулярная плоскости Прямая линия перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (рис. 5.1). а П 0 c b B h D Х h 1 Рис Рис. 5. На комплексном чертеже легко построить проекции прямого угла между прямой общего положения и линией уровня (фронталью, горизонталью). На основании свойств прямого угла, т.е. прямой угол проецируется в натуральную величину, например, на П, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, т.е. является фронталью. Чтобы прямой угол проецировался на П 1 без искажения необходимо, чтобы одна из его сторон была параллельна П 1, т.е. должна быть горизонталью. На рис. 4.5 показано как проведен перпендикуляр из точки К к фронтали и горизонтали. Если задать плоскость двумя пересекающимися прямыми, одна из которых будет фронталью, а вторая горизонталью и провести из точки А перпендикуляр к А В, т.е. к фронтальной проекции фронтали, а из А 1 перпендикуляр к А 1, т.е. к горизонтальной проекции горизонтали, то этот отрезок будет перпендикулярен к заданной плоскости АВ АD (рис. 5.3). Для того чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на чертеже ее горизонтальная проекция была

2 перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали. В случае, если плоскость задана следами, то, учитывая, что горизонтальная проекция горизонтали ( ) всегда параллельна горизонтальному следу, а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу, то чтобы из точки К (К 1, К ) провести прямую перпендикулярно к плоскости Г (рис.5.4), необходимо его горизонтальную проекцию провести перпендикулярно к горизонтальному следу, а фронтальную проекцию перпендикулярно к фронтальному следу. Х D Х Г х H Рис. 5.3 Рис Взаимно перпендикулярные плоскости Две плоскости взаимно перпендикулярны: - если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости (рис. 5.5); - если одна из плоскостей проходит перпендикулярно к прямой, расположенной в другой плоскости (рис. 5.6). Иными словами, две плоскости взаимно перпендикулярны, если имеется возможность провести прямую, принадлежащую одной плоскости и одновременно перпендикулярную к другой плоскости. В первом случае (рис. 5.5) плоскость Р перпендикулярна к плоскости Г, так как проходит через отрезок АМ, перпендикулярный к плоскости Г. На рис. 5.6 также плоскость Р перпендикулярна к плоскости Г, так как проходит перпендикулярно отрезку АВ, принадлежащему плоскости Г.

3 Рассмотрим построение взаимно перпендикулярных плоскостей на чертеже. Пусть требуется провести плоскость через отрезок прямой DE ( E 1, D E ) перпендикулярную плоскости, заданной треугольником АВС (А 1 В 1 С 1, А В С ). Задача будет решена, если из точки D отрезка DE провести прямую перпендикулярно к треугольнику АВС (рис. 5.7). Для этого в треугольнике АВС проводим фронталь и горизонталь. Затем из точки проводим перпендикуляр к (горизонтальная проекция горизонтали), а из точки D перпендикуляр D к (фронтальная проекция фронтали). Таким образом, плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми (KD DE) перпендикулярна к треугольнику АВС, т.к. проходит к нему через перпендикуляр DK. P А P Г М А Г В Рис. 5.5 Рис. 5.6 D h E D C f 1 1 E 1 Рис. 5.7 Рис. 5.8

4 Рассмотрим второй случай, пусть требуется из точки D провести плоскость, перпендикулярно к стороне АС треугольника АВС (рис. 5.8). Иными словами, чтобы сторона АС была перпендикулярна к новой плоскости, проходящей через точку D, т.е. А 1 С 1 должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали ( ), а А С перпендикулярна фронтальной проекции фронтали новой плоскости (h f). Поэтому из точки проводим перпендикулярно к А 1 С 1 ( пройдет параллельно оси Х), а из точки D проводим перпендикуляр к ( пройдет параллельно оси Х). Данные плоскости взаимно перпендикулярны, т.к. плоскость (f h) проходит перпендикулярно к стороне АС треугольника АВС. На приведенных примерах рис. 5.9 и рис изображены взаимно перпендикулярные плоскости, которые заданы треугольником АВС и следами плоскости. m h P Г х P x 1 1 m P 1 Рис. 5.9 Рис Плоскость Г перпендикулярна к плоскости треугольника АВС (рис. 5.9). Она проходит перпендикулярно к прямой m, лежащей в этой плоскости ( m 1 и m ). Плоскость Р также перпендикулярна к плоскости треугольника АВС (рис. 5.10), так как она перпендикулярна горизонтали h (, ), т.е. Р 1, а Р. Одновременно она еще перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, т.е. является горизонтально-проецирующей плоскостью.

5 Следует также отметить, что перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения Р и горизонтально-проецирующей Г (рис. 5.11) соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. P Ф Т N N P х N 1 Г х Т х N 1 Ф х P 1 Ф 1 Т 1 Рис Рис. 5.1 Это легко доказать, если попытаться провести прямую, принадлежащую плоскости Р и перпендикулярно к плоскости Г. Такой прямой является горизонталь, которая проведена через точку N (N 1, N ), взятую на следе плоскости Р ( Р 1 и Р ). Перпендикулярность фронтальных следов плоскости общего положения и фронтально-проецирующей также дает основание утверждать о перпендикулярности этих плоскостей. Доказательство аналогичное. Однако если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны между собой, то такие плоскости не перпендикулярны (рис. 5.1), т.к. здесь не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей. Невозможно провести прямую, принадлежащую одной плоскости, например Т и перпендикулярно ко второй плоскости Ф. Если взять в плоскости Т горизонтальную проекцию прямой и провести ее перпендикулярно горизонтальному следу Ф 1, то это будет горизонтальная проекция горизонтали, а фронтальная проекция горизонтали должна быть проведена параллельно оси Х, т.е. не перпендикулярно Ф.

6 5.3. Взаимно перпендикулярные прямые Как известно, легко построить прямой угол между прямой общего положения и прямой уровня (фронталью, горизонталью). Чтобы построить две взаимно перпендикулярные прямые общего положения необходимо предварительно выполнить дополнительные построения, т.к. прямой угол между такими прямыми проецируется на плоскости проекций с искажением. Пусть требуется из точки А (рис. 5.13) провести перпендикуляр к прямой общего положения b (b 1, b ). b P b N А А Г х N 1 P х M ' M 1 M ' 1 b b 1 P 1 M 1 Рис Рис Для решения задачи необходимо выполнить следующее: - из точки А провести плоскость, заданную f h перпендикулярно к прямой b; - определить точку пересечения К прямой b с плоскостью (f h). Для чего нужно заключить прямую b в проецирующую плоскость, например, горизонтально-проецирующую плоскость Г (след ) и найти линию их пересечения (1, ). На этой линии находится точка К (К 1, К )

7 пересечения прямой b с плоскостью (f h). Соединив точки А и К получим искомый отрезок АК (А 1 К 1, А К ), перпендикулярный прямой b, так как он находится в плоскости перпендикулярной к прямой b. На рис приведено решение задачи на проведение через точку А (А 1, А ) прямой линии перпендикулярной к прямой общего положения b (b 1, b ). Здесь в качестве плоскости, перпендикулярной к прямой b проведена плоскость Г, заданная следами и. Для ее построения применена фронталь f (, ), проведенная через точку А и перпендикулярно к прямой b ( b ). Определив горизонтальный след фронтали М' 1, проводим через него горизонтальный след плоскости, перпендикулярно b 1. Фронтальный след проводим перпендикулярно к b. Определив линию пересечения MN (M 1 N 1, M N ) двух плоскостей Г и Р, находим точку К пересечения прямой b с плоскостью Г. Отрезок АК (А 1 К 1, А К ) является перпендикуляром к прямой b.