Свойства бесконечно больших последовательностей

Если последовательность < βn > является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если < αn > является бесконечно малой последовательностью, с отличными от нуля членами, то последовательность является бесконечно большой. Доказательство ⇓

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Сумма или разность бесконечно большой и ограниченной последовательности является бесконечно большой последовательностью: , где . Доказательство ⇓

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Если абсолютные значения элементов последовательности < yn > ограничены снизу положительным числом ( | yn | ≥ K > 0 ), а < βn > – бесконечно большая последовательность: , то их произведение является бесконечно большой последовательностью: . Доказательство ⇓

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Если последовательность < βn > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < xn > ограничена, то . Доказательство ⇓

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Если абсолютные значения элементов последовательности < yn > ограничены снизу положительным числом ( | yn | ≥ K > 0 ), а < αn > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то . Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Пусть последовательность бесконечно большая. И пусть элементы последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам: . Тогда последовательность также бесконечно большая. Доказательство ⇓

Это свойство имеет два частных случая, которые доказываются аналогичным способом.

Пусть элементы последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам: . Тогда, если последовательность сходится к : , то и последовательность сходится к : . Если последовательность сходится к : , то и последовательность сходится к : .

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Приведенные выше свойства выполняются, если последовательность ограничена, а последовательность абсолютных членов ограничена снизу положительным числом. При этом эти последовательности не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти последовательности будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Пусть существуют пределы и числовых последовательностей и . Причем . И пусть последовательность бесконечно малая: , а последовательность бесконечно большая: . Тогда существует пределы суммы и разности: ; существуют пределы произведений: ; существуют пределы частного: при , при .

Действительно, если последовательность сходится к конечному числу, то она ограничена (см. «Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел»). Если последовательность сходится к конечному числу b , отличному от нуля, то . Тогда, начиная с некоторого номера, (см. «Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством»). Конечное число членов мы можем отбросить. Это никак не влияет на сходимость (см. «Влияние конечного числа элементов на сходимость»). Таким образом, при указанных значениях пределов последовательностей и , выполняются условия, применяемые при доказательстве приведенных выше свойств.

Доказательство свойств

Все свойства ⇑ Если последовательность < βn > является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если < αn > является бесконечно малой последовательностью, с отличными от нуля членами, то последовательность является бесконечно большой.

Пусть последовательность являются бесконечно большой. Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство: (1.1) при .

Подставим сюда : . Это означает, что начиная с номера , члены последовательности имеют отличные от нуля значения и поэтому определена последовательность .

Умножим первое неравенство (1.1) на положительное число : . Тогда вместо (1.1) имеем: . Введем положительное число . Тогда любому положительному значению переменной соответствует положительное значение переменной . И предыдущее неравенство приобретает вид: при .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется неравенство: при . Это означает, что предел последовательности равен нулю. То есть она является бесконечно малой последовательностью.

Первая часть свойства доказана.

Докажем вторую часть. Пусть последовательность являются бесконечно малой с отличными от нуля членами, . Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа ε выполняется неравенство: (1.2) при .

Умножим первое неравенство (1.2) на положительное число : . Тогда вместо (1.2) имеем: . Подставим : .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется неравенство: при . Это означает, что последовательность является бесконечно большой.

Все свойства ⇑ Сумма или разность бесконечно большой и ограниченной последовательности является бесконечно большой последовательностью: , где .

Пусть члены последовательности ограничены, по абсолютной величине положительным числом: (2.1) .

Пусть последовательность являются бесконечно большой. Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M 1 выполняется неравенство: (2.2) при .

Нам нужно показать, что имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство: (2.3) при .

Подставим в (2.2) : . Это означает, что (2.4) при .

Сделаем оценку для . При этом мы воспользуемся свойствами неравенств и применим (2.1), (2.2) и (2.4): . Эти неравенства выполняются при и . Введем число . Тогда при , где .

То есть мы нашли такую функцию , при которой для любого выполняется (4.3).

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности < yn > ограничены снизу положительным числом ( | yn | ≥ K > 0 ), а < βn > – бесконечно большая последовательность: , то их произведение является бесконечно большой последовательностью: .

Поскольку последовательность являются бесконечно большой, то имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа выполняется неравенство: (3.1) при .

Согласно определению бесконечно большой последовательности, нам нужно найти такую функцию , так что для любого положительного числа M > 0 выполняется неравенство: (3.2) при .

Сделаем оценку произведения . Подставим и . При имеем: . Введем положительное число . Любому положительному M соответствует положительное . Подставим : .

Сравнивая с (3.2) мы видим, что нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется (3.2).

Все свойства ⇑ Если последовательность < βn > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < xn > ограничена, то .

Поскольку последовательность является бесконечно большой, то, согласно свойству 1, последовательность с членами является бесконечно малой. Но произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. См. «Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую». Поэтому .

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности < yn > ограничены снизу положительным числом ( | yn | ≥ K > 0 ), а < αn > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то .

Поскольку последовательность являются бесконечно малой, то имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа ε выполняется неравенство: (5.1) при .

Согласно определению бесконечно большой последовательности, нам нужно найти такую функцию , так что для любого положительного числа M > 0 выполняется неравенство: (5.2) при .

Сделаем оценку для дроби . Подставим и . При имеем: . Введем положительное число . Любому положительному M соответствует положительное ε . Подставим : .

Сравнивая с (5.2) мы видим, что нашли такую функцию , при которой для любого положительного числа выполняется (5.2).

Все свойства ⇑ Пусть последовательность бесконечно большая. И пусть элементы последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам: . Тогда последовательность также бесконечно большая.

Поскольку последовательность являются бесконечно большой, то имеется некоторая функция , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство: при .

Пусть при выполняется неравенство . Тогда при и имеем: .

Итак, мы нашли функцию , так что для любого положительного числа M выполняется неравенство: при . Это означает, что последовательность являются бесконечно большой.