НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПОВЕРХНОСТИ. ТОЧКА И ЛИНИЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ

1 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Брянский государственный технический университет Утверждаю Ректор университета А. В. Лагерев 2007 г. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПОВЕРХНОСТИ. ТОЧКА И ЛИНИЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ Методические указания к самостоятельному выполнению упражнения 5 для студентов очной и очнозаочной (вечерней) форм обучения всех специальностей Брянск 2007

2 2 УДК 515 (075) Начертательная геометрия. Инженерная графика. Поверхности. Точка и линия, принадлежащие поверхности: методические указания к самостоятельному выполнению упражнения 5 для студентов очной и очно-заочной форм обучения всех специальностей. - Брянск: БГТУ, с. Разработал: С. Л. Эманов, ст. препод. Рекомендовано кафедрой «Начертательная геометрия и графика» БГТУ (протокол 5 от )

3 3 ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ Цели самостоятельной работы студента: научиться строить каркас линейчатых поверхностей, очерк поверхностей вращения; определять недостающую проекцию точки, принадлежащую поверхности; определять видимость точек, принадлежащих поверхности. Предварительно необходимо изучить: по конспекту лекций - лекцию 5; по рекомендуемой литературе - главы, относящиеся к образованию поверхностей [5, с , ] [3, с ]. Приступая к выполнению упражнения, необходимо: - знать основные понятия и параметры круглых тел (цилиндра, конуса, шара): ось, центр, диаметр высота; - уметь по двум проекциям геометрических фигур определить её наименование (форму), характер поверхности(проецирующая поверхность или нет), положение в пространстве; - знать основные инвариантные свойства ортогонального проецирования. Если точка А принадлежит поверхности α, то ортогональная проекция точки A' находится на ортогональной проекции линии ', принадлежащей ортогональной проекции поверхности α': А α=>(a' ' α')^ (A' ' α'). Поэтому, чтобы на чертеже поверхности построить проекцию, принадлежащей ей точки, вначале необходимо через заданную проекцию точки провести проекцию какой-либо линии, принадлежащей поверхности, а затем построить вторую проекцию линии и на ней найти вторую проекцию точки. Вспомогательную линию на поверхности следует выбирать так, чтобы она проецировалась в простейшую линию. В качестве такой линии, как правило, для линейчатой поверхности выбирают образующую, так как образующая - прямая линия. Для поверхностей вращения выбирают либо образующую, если она прямая, либо параллель, поскольку она представляет собой окружность.

4 4 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Эти поверхности создаются при вращении криволинейной или прямолинейной образующей m вокруг неподвижной оси i (рис. 1а). Для создания каркаса поверхности вращения необходимо на образующей m выделить ряд точек и вращать эти точки вместе с образующей вокруг оси i (рис. 1б). Из закона образования поверхностей вращения вытекают два основных свойства: 1 - плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности параллели; 2 - плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям - меридианам. Сфера образуется вращением дуги окружности m вокруг диаметра i (рис. 1а). Отметим на дуге m ряд точек, при вращении дуги каждая точка опишет окружность (параллель). Если на этой сфере отметить ряд промежуточных меридианов, то на рисунке получим изображение каркаса сферы (рис. 1б). а) б) в) Рис. 1. Сфера

5 5 Рассмотрим нахождение горизонтальной проекции точки А, принадлежащей сфере, по заданной её фронтальной проекции А'' (рис. 1в). Через фронтальную проекцию точки А'' проведём параллель (линия, параллельная горизонтальной плоскости). От точки пересечения параллели и окружности главного меридиана проведём линию связи до горизонтальной проекции главного меридиана (горизонтальная осевая линия). Через найденную точку проведём окружность (горизонтальная проекция параллели). От фронтальной проекции точки проводим линию связи, которая пересечёт окружность в двух точках. Поскольку А'' видима, то выбираем точку с большей координатой y и обозначаем А'. Конус образуется вращением прямой g вокруг оси i (рис. 2а). Отметим на прямой g ряд точек, при вращении каждая точка опишет окружность (параллель). Если на этом конусе отметить ряд промежуточных меридианов, то на рисунке получим изображение каркаса конуса (рис. 2б). а) б) в) Рис. 2. Прямой круговой конус На рис. 2в представлены две проекции прямого кругового конуса, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. На поверхности задана проекция точки A. Проводим фронтальную проекцию образующей конуса через A и S - S 1. Находим горизонтальную проекцию образующей S 1,

6 6 используя линии связи и принадлежность точки 1 окружности основания конуса. Горизонтальная проекция точки A находится на пересечении линии связи с горизонтальной проекцией образующей S 1. Чтобы найти горизонтальную проекцию точки В по заданной В, проведём через неё параллель h и построим h, которая проецируется на горизонтальную плоскость проекций в окружность. Горизонтальная проекция точки В находится на пересечении линии связи с горизонтальной проекцией h. Цилиндр образуется вращением прямой g вокруг оси i, параллельной этой прямой (рис. 3а). Отметим на прямой g ряд точек, при вращении каждая точка опишет окружность (параллель). Если на этом цилиндре отметить ряд промежуточных меридианов, то на рис. 3б получим изображение каркаса цилиндра. а) б) в) Рис. 3. Прямой круговой цилиндр На рис. 3в представлены три проекции прямого кругового цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости. Проводим фронтальную проекцию образующей цилиндра через A, она является горизонтально проецирующей прямой и проецируется в точку на окружности. В этой точке будет находиться и горизонтальная проекция точки A - A, так как точка видна относительно фронтальной плоскости проекций. Профильная проекция точки A находится в проекционной связи с проекциями A и A. Чтобы найти профильную проекцию A, надо провести линию связи из точки A и отложить расстояние y от оси z. Все три проекции точки видимы.

7 7 Тор образуется вращением дуги окружности m вокруг оси i (рис. 4а). Отметим на дуге m ряд точек, при вращении дуги каждая точка опишет дугу окружности на фронтальной проекции (параллели) (рис. 4б). а) б) Рис. 4. Тор в) На рис. 4в представлены две проекции открытого тора, ось вращения которого перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. На поверхности задана проекция точки A. Проводим фронтальную проекцию параллели через A (это окружность с центром в точке i ). Cтроим горизонтальную проекцию параллели (окружность проецируется в виде прямой). Горизонтальная проекция точки A находится на пересечении линии связи с

8 8 горизонтальной проекцией параллели. Чтобы найти фронтальную проекцию точки В по заданной В, проведём через неё параллель (это линия перпендикулярная i ) и построим её фронтальную проекцию, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в окружность. Фронтальная проекция точки В находится на пересечении линии связи с фронтальной проекцией параллели. ПОВЕРХНОСТИ ЛИНЕЙЧАТЫЕ Рассмотрим порядок построения каркаса линейчатых поверхностей и нахождение точки, принадлежащей поверхности. ПРИМЕР 1. Построить проекции каркаса поверхности с тремя направляющими и найти недостающие проекции А' и B'' точек А и B, принадлежащих поверхности, если заданы А'' и B' (рис. 5а). РЕШЕНИЕ. Построение каркаса поверхности начинаем с фронтальной проекции, поскольку на этой проекции направляющая '' d спроецировалась в точку. Проводим ряд образующих (не менее 2 четырёх), пересекающих все направляющие (рис. 5б). Строим горизонтальные проекции образующих, проводя их через проекции '' '' точек, принадлежащих направляющим d 1 и d 3. Каркас поверхности построен. а) б) Рис. 5. Поверхность линейчатая с тремя направляющими (дважды косой коноид)

9 9 Строим горизонтальную проекцию точки А. Прежде всего, через заданную фронтальную проекцию А'' точки проведём фронтальную проекцию вспомогательной образующей. Горизонтальная проекция построена с помощью точек, в которых '' '' образующая пересекает заданные направляющие d и 1 d 3. Искомая проекция A' точки А определена пересечением построенной образующей и линии проекционной связи. Строим фронтальную проекцию точки B. Через заданную проекцию B' проведём горизонтальную проекцию произвольной вспомогательной линии а', принадлежащей поверхности и пересекающей линии каркаса (не менее четырёх). По известным проекциям точек пересечения проекции линии а' найдём фронтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим a'', на которой по линии связи найдём B''. ПРИМЕР 2. Построить проекции каркаса поверхности, заданной двумя направляющими и плоскостью параллелизма α (α π 2 ), а так же найти недостающие проекции А' и B'' точек А и B, принадлежащих поверхности, если заданы А'' и B' (рис. 6а). а) б) Рис. 6. Поверхность линейчатая с двумя направляющими (прямой коноид) РЕШЕНИЕ. Построение каркаса поверхности начинаем с горизонтальной проекции (рис. 6б). Проводим проекции образующих параллельно оси х, так как они должны быть параллельны плоскости π 2. Эти образующие пересекают две направляющие d 1'' и d 2''. По полученным точкам пересечения

10 10 образующих и направляющих строим фронтальные проекции образующих. Каркас построен. Для построения недостающей проекции точки B'' воспользуемся дополнительной образующей, проходящей через точку. А для построения горизонтальной проекции точки А проведём произвольную линию b', принадлежащую поверхности и пересекающей не менее четырёх линий каркаса. На её фронтальной проекции найдём А''. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. К каким поверхностям (линейчатым, вращения и др.) относится поверхность тора - кольца (сферы, прямого кругового конуса, наклонного конуса, наклонного кругового цилиндра)? 2. Что такое очерк поверхности? Постройте три проекции сферы и обведите три проекции фронтального очерка сферы. В какой плоскости расположена эта окружность - фронтальный очерк сферы? 3. В какой плоскости расположена окружность - профильный очерк сферы (горизонтальный очерк сферы)? 4. Что такое образующие и направляющие поверхности? 5. Вычертите три проекции вертикального прямого кругового конуса и обведите три проекции левой очерковой, образующей его. В какой плоскости лежит эта прямая? 6. Вычертите три проекции прямого кругового цилиндра с осью, перпендикулярной плоскости π 2, и обведите самую верхнюю его образующую. Какая это прямая? Для какой проекции цилиндра она является очерковой?

11 11 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гордон, В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии: учеб. пособие для вузов / В. О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева. - М.: Высш. шк., с. 2. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие для вузов / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. Изд. 24-е стер. - М.: Высш. шк., с. 3. Герасимов, В.А. Начертательная геометрия / В. А. Герасимов. - Брянск: БГТУ, с. 4. Герасимов, В.А. Сборник задач по начертательной геометрии / В.А. Герасимов, А.В. Щеглова, Э. П. Хотев, С. Л. Эманов. Брянск: БГТУ, с. 5. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: учебник для вузов / С. А. Фролов. М.: Машиностроение, с. 6. Фролов, С.А. Сборник задач по начертательной геометрии / С. А. Фролов. М.: Машиностроение, с.

12 12 Начертательная геометрия. Инженерная графика. Поверхности. Точка и линия принадлежащие поверхности: методические рекомендации к самостоятельному выполнению упражнения 5 для студентов очной и очно-заочной формы обучения всех специальностей СЕРГЕЙ ЛЕОНИДОВИЧ ЭМАНОВ Научный редактор Редактор издательства Компьютерный набор Иллюстрации Е. В. Афонина Л. И. Афонина С. Л. Эманов С. Л. Эманов Темплан 2007г., п. 286 Подписано в печать Формат 60х80 1/16 Бумага офсетная. Офсетная печать. Печ. л. 0,7 Уч.- изд.л. 0,7 Т 50 экз. Заказ Бесплатно Брянский государственный технический университет , Брянск бульвар 50-летия Октября, 7, БГТУ, ул. Институтская, 16.