Теорема о сжатой переменной. Бесконечно малая величина. Бесконечно большая величина. Основные теоремы о пределах
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|<E. limn®¥Xn=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.
Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.
Св-ва послед-ти, имеющей предел:
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0, |Xn|<E.
1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Бесконечно большая величина
Свойства б.б. величин:
1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
Основные теоремы о пределах:
1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x0|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x выпол x0-d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.
Ф-ия y=f(x)наз-ся бесконечно большой при x®x0 если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x0|<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x0-d<x<x0+d, -M>f(x)>M.
Lim f(x)=¥ (x®x0).
Число А наз-ся пределом y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.
I замечательный предел.
Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.
II замечательный предел.
Бином Ньютона: (a+b) n =a n +na n-1 b+(n(n-1)a n-2 b 2 )/2!+. +(n(n-1)(n-2)(n-3)a n-4 b 4 )/4!+. +b n .
(1+1/n) n =1+n1/n+n(n-1)/2!n 2 +n(n-1)(n-2)/3!n 3 +. +1/n n = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+. +1/n n =< 2+0.5(1-1/n) +1/2 2 (1-1/n)(1-2/n)+1/2 3 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2 n < 2+0.5+1/2 2 +1/2 3 +. +1/2 n =2+0.5(1-1/2 n )/(1-0.5)=2+1-1/2 n =3-1/2 n <3.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0).limf(x)=f(x0)
Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва непрерывности в точке:
1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).
Непрерывности на заданном промежутке
Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.
1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x0 на [a;b], f(x0)=0.
Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):
1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю
f(x2)£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).
2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.
3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.
Если $ limDx®0Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. LimDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx= =f / (х)=df(x)/dx=dy/dx=y | (x).
2. Геометр смысл производ.
Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).
Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ