10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность.
2. Числовая прямая
Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.
Например, берем число откладываем на координатной оси, получаем точку Возьмем число откладываем на оси, получаем точку (рис. 2).
И наоборот, если мы взяли любую точку на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).
К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.
3. Числовые множества
Сначала ввели множество натуральных чисел
Затем множество целых чисел
Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида
Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.
Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит
Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.
4. Числовая окружность
Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.
Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность. Укажем, каким образом каждому числу поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.
Задав число получаем точку на окружности
Точка соответствует числу . А если взять числа Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку
Возьмем все числа Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.
Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности
Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел
В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.
5. Основные точки окружности
Рассмотрим основные точки на окружности.
Задано число Найти, какой точке на окружности оно соответствует.
Разделив дугу пополам, получаем точку (рис. 5).
Обратная задача – дана точка середина дуги Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.
Отметим на числовой окружности все дуги, кратные (рис. 6).
Важны также дуги, кратные
Дано число Нужно найти соответствующую точку.
Обратная задача – дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.
Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.
6. Задачи
a) Найти на числовой окружности точку с координатой
Откладываем от точки A это два целых оборота и еще половина, и Получаем точку M – это середина третьей четверти (рис. 8).
b) Найти на числовой окружности точку с координатой
Откладываем от точки A полный оборот и еще получаем точку N (рис. 9).
7. Вывод, заключение
Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.
повторение
Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).
Каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности.
Каждой точке на числовой окружности соответствует не только число но и все числа вида
8.Числовая окружность в координатной плоскости
Поместим окружность в координатную плоскость. По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.
Наша задача – по данному числу найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.
9. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны
Пример 1.Дана точка – середина дуги Точке соответствуют числа вида
Найти координаты точки (рис. 3).
Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.
1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности
по условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол Это значит также, что прямая делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая
Точка лежит на прямой поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.
Составим систему из двух уравнений.
Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).
10. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны
Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).
Мы задали число нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.
11. Решение задач
Пример 1. Дана точка Найти её прямоугольные координаты.
Точка середина третьей четверти (рис. 8).
12. Вывод, заключение
Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.