ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ а, b и с НА РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
III. Мотивация.
На экзаменах ОГЭ часто встречаются задания на соответствие коэффициентов квадратичной функции и их графиков. Соответственно мы уделяем этому вопросу должное внимание.
IV. Целеполагание и совместное планирование урока
Продолжаем формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявляем влияние коэффициентов а , b и с на расположение графика квадратичной функции.
V. Изучение нового материала
Прямая у = 6 х + b касается параболы у = х 2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6 х + b = х 2 + 8 будет иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х 2 – 6 х + 8 + b = 0;
D 1 = 9 – (8 – b ) = 1 + b;
D 1 = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.
3. Выявить влияние коэффициентов а , b и с на расположение графика функции у = ах 2 + bх + с .
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу .
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ .
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а , b и с по графику функции.
Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т = 1, то b > 0.
V I . Закрепление нового материала
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а , b и с .
у = – х 2 + 2 х ;
у = х 2 + 2 х + 2;
у = 2 х 2 – 3 х – 2;
у = х 2 – 2 .
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а , b и с :
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2 х 2 – 3 х – 2.
у = х 2 – 2 х ;
у = –2 х 2 + х + 3;
у = –3 х 2 – х – 1;
у = –2,7 х 2 – 2 х .
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а , b и с :
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7 х 2 – 2 х .
5. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а , b и с :
а < 0, с > 0, b < 0.
Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.
у = х 2 + рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 + + рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х 1 · х 2 = q и х 1 + х 2 = – р . Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –(3 + 4) = –7.
б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q , то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х 2 + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.
в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х 2 – 12 х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.
VII. Первичный контроль знаний. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у = 2 х 2 + 4 х – 6 и найдите, используя график:
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наименьшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = – х 2 + 4 х , найдите:
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции у = – х 2 + 2 х + 3 и найдите, используя график:
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наибольшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = 2 х 2 + 8 х , найдите:
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
VIII . Коррекция знаний (проверка на том же уроке).
IX . Дифференцированное домашнее задание.
№ 127 (б), № 128, № 248.
X . Рефлексия, подведение итогов.
– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах 2 + bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а , b и с на расположение графика квадратичной функции?