Занятие 1 Точка. Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Принадлежность точки прямой.

1 Занятие 1 Точка. Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Принадлежность точки прямой. 1.1 Свойства параллельного проецирования Рис. 1.1 Свойства параллельного проецирования 1. Проекция точки на плоскость есть точка: A A Проекция прямой в общем случае прямая: l l 1, (рис. 1.1); она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования. 3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии (рис. 1.1): A l A 1 l 1 Следствие из п. 2 и 3. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек: A l B l A 1 l 1 B l l 1 4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций (рис. 1.1): К а b K 1 а 1 b 1

2 1.2 Комплексный чертеж точки Рис. 1.1 Ортогональное проецирование точки Прямоугольные проекции А 1 (А`), А 2 (А``), А 3 (А```) точки А на плоскостях проекций получаются как основания перпендикуляров, опущенных из данной точки на каждую из плоскостей проекций, где П 1 горизонтальная плоскость проекций; П 2 фронтальная плоскость проекций; П 3 профильная плоскость проекций.

3 Для получения плоского чертежа точки необходимо плоскости проекций П 1 и П 3 совместить с плоскостью П 2, вращением вокруг осей проекций Х (рис. 1.2) и У. Прямая, которая соединяет на чертеже две проекции одной и той же точки, называется линией связи. Точка пересечения осей проекций называется точкой начала координат. Рис. 1.2 Получение плоского чертежа точки Положение точки в пространстве задается при помощи трех ее координат (абсциссы х, ординаты у и аппликаты z). Запись координат производят в следующей форме: А(10, 15, 30), где х = 10, у = 15, z = 30. Координаты точки указывают расстояние точки в пространстве до плоскостей проекций. Если точка лежит в плоскости проекций, то одна ее координата равна нулю, например, точка В(10, 30, 0) лежит в горизонтальной плоскости проекций, т.к. аппликата точки В равна нулю (z = 0).

4 Если точка лежит на оси проекций, то нулю равны две ее координаты, например, точка С(0, 50, 0) лежит на оси y, т.к. координаты x и y равны нулю. У точки, совпадающей с началом координат (точкой О на рис.1.1), все координаты равны нулю. Таким образом, в зависимости от положения точки относительно плоскостей проекций их можно классифицировать на точки общего положения, когда координаты точки х, у, z не равны нулю, а все остальные точки на точки частного положения. 1.3 Проекции отрезков прямых Поскольку прямая линия определяется двумя точками, поэтому, чтобы построить чертеж прямой (отрезка) достаточно построить проекции двух ее точек. В зависимости от расположения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций, прямые классифицируют на прямые общего и частного положения. Прямой общего положения (рис.1.3) называют прямую не параллельную и не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, все остальные прямые называют прямыми частного положения, к которым относятся прямые уровня и проецирующие прямые. Прямой уровня называется прямая параллельная какой-нибудь одной плоскости проекций. Различают три линии уровня: 1) горизонталь (рис. 1.4 а) прямая параллельная горизонтальной плоскости проекции (П 1 ), 2) фронталь (рис. 1.4 б) прямая параллельная фронтальной плоскости проекций (П 2 ), 3) профильная (рис. 1.4 в) прямая параллельная профильной плоскости проекций (П 3 ).

5 а б в Рис. 1.4 Построение проекций линий (отрезков) уровня Каждая линия уровня проецируется в истинную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна. Проецирующими прямыми называются прямые, перпендикулярные к плоскости проекций. Различают: 1) горизонтально-проецирующая (рис.1.5) прямая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций, 2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций, 3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная к профильной плоскости проекции.

6 Рис.1.3 Прямая общего положения Рис. 1.5 Горизонтально - проецирующая прямая

7 1.4 Взаимное положение прямых Две прямые в пространстве могут быть: 1) параллельными прямыми (рис.1.6 а, б, в) 2) пересекающимися прямыми 3) скрещивающимися (рис. 1.7) называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются в пространстве. Для параллельных прямых: Рис. 1.6 Проекции параллельных прямых Из свойств параллельного проецирования следует, что проекции параллельных прямых параллельны, при этом справедливо и обратное утверждение: если на чертеже проекции двух прямых параллельны, то эти прямые в пространстве параллельны (рис.1.6).

8 Для пересекающихся прямых: Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже пересекаются их одноименные проекции. При этом точка пересечения двух проекций лежит на одной линии связи. Для скрещивающихся прямых: Если прямые в пространстве не пересекаются, а скрещиваются, то на чертеже их одноименные проекции могут и пересекаться (рис.1.7 а), но точки пересечения этих проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых. Точка пересечения проекций на чертеже этих прямых являются проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым. Рис. 1.7 Проекции скрещивающихся прямых

9 1.5 Принадлежность точки прямой линии Точка может принадлежать прямой и находиться вне прямой. Если точка С (рис. 1.8) принадлежит прямой l, то проекции С 1 и С 2 точки С принадлежат одноименным проекциям прямой l. Если точка не принадлежит прямой l, то, по крайней мере, одна из ее проекций не принадлежит одноименной проекции прямой. На рис.1.8 точки А, В и D не принадлежат прямой l, причем точка D расположена над прямой, а точка В - перед прямой. Рис. 1.8 Принадлежность точки прямой