Учебно-методическое пособие Проценты вокруг нас
Пособие написано доступным языком, содержит исторические сведения, основные теоретические понятия. Материал пособия ориентирован на систематизацию знаний по теме «Проценты» и, таким образом, основательную подготовку к решению задач части В, содержащих проценты в ЕГЭ по математике 2012г.
В пособие включены задачи из ЕГЭ и ГИА. Задачи выбраны из открытого банка заданий по подготовке к ЕГЭ, которые редко встречаются в печатных изданиях. Некоторые из них разобраны и решены разными способами. Пособие рекомендовано учащимся старшей школы.
Пояснительная записка.
В основном тема «Проценты», впервые появляется в шестом классе, когда учащиеся знакомятся с понятием части от числа. Эти задачи довольно трудно усваиваются.
Но к окончанию школы, приобретая житейский опыт, расширяя кругозор, учащиеся лучше справляются с данным видом задач.
Изучая математику, ученики должны осознавать необходимость научиться решать задачи на проценты.
Основной целью данного пособия является возможность показать учащимся, что задачи на проценты не столько сложны, сколько интересны. Проценты нас окружают повсюду. Нам приходится с ними встречаться практически каждый день.
1. Историческая справка 5
2. Основные теоретические понятия 5
3.Задачи из ГИА и ЕГЭ 7
4. Осторожно, простая задача! 8
5. Задачи на процентные отношения 9
6. Задачи на влажность и сплавы 11
7. Самостоятельная работа «Проверь себя» 12
8. Тестовые задания 12
10 Используемая литература 13
1. Историческая справка
Впервые проценты упоминаются в V веке у индийцев. В Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.
Существует забавная версия происхождения символа %. Как предполагается, он появился в конце XVII века, благодаря опечатке. В одной из книг наборщик по ошибке вместо принятого в те времена сокращения этого термина набрал . Этот знак вошел в обиход и постепенно преобразовался в знакомый нам символ.
Проценты удобны тем, что позволяют отойти от десятичных дробей.
«100% чего-либо» - означает «все»
«0% чего-либо» - означает «ни один»
«50% чего-либо» - означает «половина»
«150% чего-либо» - означает «полтора»
Слово «процент» произошло от латинского термина pro centum , который означает «сотая доля», а в дословном переводе звучит «на сто». Из средств массовой информации часто слышим это словосочетание, которое используется вместо слова «процент». Например, говорят, что в России на каждые 100 человек приходится 12, имеющих высшее образование. Это означает, что высшее образование в России имеет 12% населения.
Задачи на диаграммы.
Наглядные задачи на проценты это задачи с использованием диаграмм. Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно представить соотношения между частями целого. Часто данные на круговых диаграммах выражают в процентах. На круговой диаграмме рис.1показаны результаты выборов мэра города.
Используя диаграмму можно решить несколько задач.
Сколько процентов проголосовало за кандидата А? Сколько процентов проголосовало за кандидата Б? Сколько процентов не принимали участия в выборах и т.д.
2. Основные теоретические понятия
Процент от некоторой величины – это одна сотая ее часть.
Для обозначения слова «процент» применяется знак %.
1% - это = 0,01 величины.
Найдем 1% от 200 р., т. е. = 2, значит 1% от 200 рублей равен 2 рублям.
Найдем 22% от 6 кг: сначала найдем 1% от 6 кг, получим = (кг);
теперь найдем 22%:
Итак, чтобы найти 1% от величины, надо эту величину разделить на 100 или умножить на 0,01.
Чтобы найти р% от величины , надо 1% от величины умножить на число р.
Найдите 8% от 100
За год банк начисляет на вклад «Срочный» 12 % от вложенной суммы. Сколько рублей будет начислено на вклад в 5000 рублей?
через год число процентов будет 100% + 12% = 112%,
найдем 112% от 5000 р. известным нам способом.
Решить эту задачу можно проще. 112 % =1,12.
Итак, если число а увеличивается на р %, то надо а ∙ ( 1+ р ), аналогично, если число а уменьшается на р% , то надо а ∙( 1 - р )
Начертите в тетради отрезок длиной 20 клеток.
а) Увеличьте его на 10 %.
б) Уменьшите его на 20 %.
Как найти процентное отношение двух чисел?
Сколько процентов составляет число 18 от 72?
Сначала найдем какую часть составляет 18 от 72. Для этого = и выражаем в процентах.
Итак, чтобы найти сколько процентов составляет одно число от другого, надо их отношение заменить процентом, т. е. умножить полученную дробь на 100 %.
Сколько процентов от числа 80 составляет число 160?
Решение: ∙100 % = 200 %
Вычислите 10 % от числа (8,7 – 4,9 – 3.2)
Наряду с задачами на нахождение процента от числа, часто надо найти число по его проценту.
Найдите число 36 % которого равны 216.
Пусть это число х, тогда 36 % от х равны 0,36 х.
По условию задачи, составим уравнение
Иными словами, чтобы найти число по известному проценту, надо число разделить на процент.
3. Задачи из ГИА и ЕГЭ.
Повторив основные вопросы теории, можно решить более сложную задачу с использованием диаграммы.
Задача из ГИА часть А.
Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе, представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников?
Как изменится площадь прямоугольника, если длина его увеличится на 20 %, а ширина на 10 %?