§ 2. Конус (рассматриваем только прямой круговой конус).

Определение. Конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, относительно которого происходит вращение – ось конуса, численно равная его высоте; второй катет – радиус основания; гипотенуза – образующая (образует при вращении боковую поверхность конуса).

М – вершина конуса, О – центр основания,

МО – ось конуса, МО = Н – высота конуса,

ОА = ОВ =…= R – радиус основания,

АМ = BM =…= l – образующая конуса.

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник (например, треугольник AMB).

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию – круг, подобный основанию.

Развёртка поверхности конуса состоит из круга и сектора круга.

. Усечённый конус.

Определение. Усечённым конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольной трапеции вокруг её меньшей боковой стороны. Другими словами: усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием и параллельным основанию сечением конуса.

Осевое сечение – равнобедренная трапеция (например, АВВ1А1).

. Объём и площадь поверхности конуса.

Здесь R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, H – высота, l – образующая.

В конус всегда можно вписать шар. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Около конуса всегда можно описать шар. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Вопросы и задачи

Из бумаги свёрнут кулёк, имеющий форму конуса с радиусом основания 5 см и высотой 10 см. Определите площадь поверхности кулька.

Образующая конуса равна 2 см, а радиус основания – 1 см. Объясните, больше или меньше 6 см 2 площадь его полной поверхности.

Найдите площадь полной поверхности конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а образующая – 4;

б) радиус основания равен 3, а высота - 4;

в) радиус основания равен 4, а угол наклона образующей к основанию равен 30 0 .

Найдите объём конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а его высота равна 3;

б) радиус его основания равен 3, а образующая равна 5;

в) радиус основания равен 2, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°;

г) радиус основания равен 3, а площадь осевого сечения равна 12.

Прямоугольный треугольник с катетами a и b (a < b) вращается сначала вокруг одного из них, а затем вокруг другого. Сравните:

а) площади боковых поверхностей полученных конусов;

б) площади полных поверхностей получившихся конусов.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины 2 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Прямоугольный треугольник с катетами a и b вращают вокруг гипотенузы. Найдите объём полученного тела вращения.

Параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см и углом 60 0 вращают вокруг прямой, содержащей большую сторону параллелограмма. Найдите площадь получившейся поверхности.

Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна P.

Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объём конуса, если его высота равна H.

Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.

Рассматривается конус с радиусом основания 5 см и образующей 3см. Через точку образующей, находящуюся на расстоянии 1 см от вершины, проведено сечение, параллельное основанию конуса. Выполните последовательно такие задания:

а) найдите площадь этого сечения;

б) найдите площадь боковой поверхности данного конуса;

в) найдите площадь боковой поверхности конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

г) найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

д) найдите площадь полной поверхности этого усечённого конуса.

Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Площадь основания конуса равна 12 см², его высота – 6 см. Найдите площадь его сечения, параллельного основанию и проведённого:

а) через середину высоту;

б) на расстоянии 2 см от вершины конуса;

в) на расстоянии 4 см от вершины конуса.

Найдите объёмы конусов, у которых основаниями являются рассмотренные сечения, а вершиной – вершина данного конуса.

Площадь основания конуса равна 25 см², а высота равна 5 см. На расстоянии 1 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите объём усечённого конуса, отсекаемого проведённым сечением.

Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

В усечённом конусе известны высота h, образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.